Pionki na szachownicy

Pionki są rozmieszczone na szachownicy 2013x2011, każdy na 1 polu. Czy można je tak poprzestawiać, aby każdy pionek stał na polu sąsiadującym bokiem z polem, które zajmował i żeby wciąż na każdym polu stał 1 pionek?

Skoro piony z pól czarnych stawiasz na polach białych, i vice-versa, to warto wiedzieć ile jest pól czarnych, a ile białych.

Tego właśnie nie rozumiem. Czyli mam te 4048143 pola. Skąd mam wiedzieć ile jest czarnych, a ile białych?

Nie można.
Ponumerujmy kolumny szachownicy od do od lewej do prawej oraz wiersze szachownicy od do z góry na dół. Ponadto ponumerujmy pionki od do w jakikolwiek sposób. Niech teraz oznacza sumę numeru wiersza i numeru kolumny pola, na którym znajduje się -ty pionek. Wówczas dla dowolnego układu pionków na tej szachownicy, takiego że na każdym polu znajduje się dokładnie pionek zachodzi równość
. A zatem po przestawieniu pionków wartość powyższej sumy nie zmieni się. Z drugiej strony wartość , dla każdego pionka albo wzrośnie o (przestawienie go w dół lub w prawo), albo zmaleje o (przestawienie go w górę lub w lewo). Skoro powyższa suma ma się nie zmienić, to ilość pionków, których wartość zmaleje (oznaczmy tę ilość przez ) musi być taka sama, jak ilość pionków, których wartość wzrośnie (oznaczmy tę ilość przez ). Mamy zatem , a stąd , sprzeczność gdyż liczba jest nieparzysta.

To rozwiązanie jest dobre, ale powinno zacząć się od stwierdzenia : pomalujmy szachownicę tak, aby...