Nie można.
Ponumerujmy kolumny szachownicy od

do

od lewej do prawej oraz wiersze szachownicy od

do

z góry na dół. Ponadto ponumerujmy pionki od

do

w jakikolwiek sposób. Niech teraz

oznacza sumę numeru wiersza i numeru kolumny pola, na którym znajduje się

-ty pionek. Wówczas dla dowolnego układu pionków na tej szachownicy, takiego że na każdym polu znajduje się dokładnie

pionek zachodzi równość

. A zatem po przestawieniu pionków wartość powyższej sumy nie zmieni się. Z drugiej strony wartość

, dla każdego pionka albo wzrośnie o

(przestawienie go w dół lub w prawo), albo zmaleje o

(przestawienie go w górę lub w lewo). Skoro powyższa suma ma się nie zmienić, to ilość pionków, których wartość

zmaleje (oznaczmy tę ilość przez

) musi być taka sama, jak ilość pionków, których wartość

wzrośnie (oznaczmy tę ilość przez

). Mamy zatem

, a stąd

, sprzeczność gdyż liczba

jest nieparzysta.