szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: świętokrzyskie
Pionki są rozmieszczone na szachownicy 2013x2011, każdy na 1 polu. Czy można je tak poprzestawiać, aby każdy pionek stał na polu sąsiadującym bokiem z polem, które zajmował i żeby wciąż na każdym polu stał 1 pionek?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 21:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6328
Skoro piony z pól czarnych stawiasz na polach białych, i vice-versa, to warto wiedzieć ile jest pól czarnych, a ile białych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 21:59 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: świętokrzyskie
Tego właśnie nie rozumiem. Czyli mam te 4048143 pola. Skąd mam wiedzieć ile jest czarnych, a ile białych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 13:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6328
Jest 2n+1 pól z których n+1 jest w jednym kolorze, a n w drugim.
Czy n+1 pionów z pól w jednym kolorze można przestawić na n pól w kolorze drugim? Nie. Koniec zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Bochnia
Nie można.
Ponumerujmy kolumny szachownicy od 1 do 2013 od lewej do prawej oraz wiersze szachownicy od 1 do 2011 z góry na dół. Ponadto ponumerujmy pionki od 1 do 4048143 w jakikolwiek sposób. Niech teraz v_{i} oznacza sumę numeru wiersza i numeru kolumny pola, na którym znajduje się i-ty pionek. Wówczas dla dowolnego układu pionków na tej szachownicy, takiego że na każdym polu znajduje się dokładnie 1 pionek zachodzi równość
\sum_{1}^{4048143} v_{i}=2013(1+2+...+2011)+2011(1+2+...+2013)2011=8148911859. A zatem po przestawieniu pionków wartość powyższej sumy nie zmieni się. Z drugiej strony wartość v_{i}, dla każdego pionka albo wzrośnie o 1 (przestawienie go w dół lub w prawo), albo zmaleje o 1 (przestawienie go w górę lub w lewo). Skoro powyższa suma ma się nie zmienić, to ilość pionków, których wartość v_{i} zmaleje (oznaczmy tę ilość przez M) musi być taka sama, jak ilość pionków, których wartość v_{i} wzrośnie (oznaczmy tę ilość przez W). Mamy zatem M=W, a stąd 2M=M+W=4048143, sprzeczność gdyż liczba 4048143 jest nieparzysta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 15096
Lokalizacja: Bydgoszcz
kerajs napisał(a):
Skoro piony z pól czarnych stawiasz na polach białych, i vice-versa, to warto wiedzieć ile jest pól czarnych, a ile białych.

To rozwiązanie jest dobre, ale powinno zacząć się od stwierdzenia : pomalujmy szachownicę tak, aby...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pionki i szachownica  Timoti  3
 Sposoby pomalowania szachownicy 2x2  jenek  5
 Na ile sposobów można ustawić 8 wież na szachownicy 8x8...  ewaewa123  1
 pole szachownicy i liczby  viki90  1
 wieże na szachownicy - zadanie 3  Zordon  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl