szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 18:46 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Łańcut
Zbadaj czy szereg \sum_{n=1}^{\infty}\sin ( \frac{x}{n ^{2} } ) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze liczb rzeczywistych. Wiem, że nie jest, jednak nie wiem, skąd wynika dlaczego. Jest natomiast zbieżny jednostajnie na każdym przedziale postaci (-a,a) (kryt. Weierstrassa).
Czy wobec tego f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\sin ( \frac{x}{n ^{2} } ) jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 1536
Lokalizacja: Sosnowiec
malwinka1058 napisał(a):
Zbadaj czy szereg \sum_{n=1}^{\infty}\sin ( \frac{x}{n ^{2} } ) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze liczb rzeczywistych. Wiem, że nie jest, jednak nie wiem, skąd wynika dlaczego.

Nie jest spełniony warunek konieczny, czyli zbieżność jednostajna odpowiedniego ciągu do funkcji zerowej.
malwinka1058 napisał(a):
Czy wobec tego f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\sin ( \frac{x}{n ^{2} } ) jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych?

Tak.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Łańcut
Warunek konieczny - chodzi o zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego f _{n}=\sin ( \frac{x}{n ^{2} }) ?

Skąd wiemy, że jest funkcją ciągłą? Czy stąd, że każdy wyraz tego szeregu jest funkcją ciągłą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 1536
Lokalizacja: Sosnowiec
malwinka1058 napisał(a):
Warunek konieczny - chodzi o zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego f _{n}=\sin ( \frac{x}{n ^{2} }) ?
Tak.
Cytuj:
Skąd wiemy, że jest funkcją ciągłą? Czy stąd, że każdy wyraz tego szeregu jest funkcją ciągłą?

Suma szeregu, który jest zbieżny jednostajnie i którego każdy wyraz jest funkcją ciągłą, jest funkcją ciągłą. W tym przypadku trzeba badać ciągłość w każdym punkcie oddzielnie, bo nie ma zbieżności jednostajnej na całym \RR. Jeśli ustalimy x_0\in \RR, to istnieje a\in\RR takie, że x_0\in (-a,a), a na przedziale (-a,a) mamy zbieżność jednostajną. Oznacza to, że suma naszego szeregu zawężona do (-a,a) jest funkcją ciągłą. W szczególności ciągłą w x_0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego - zadanie 11  karaoke120  1
 Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego - zadanie 16  eliza123  2
 zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego - zadanie 3  anetaaneta1  0
 Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego - zadanie 9  Johny94  4
 Zbieznosc jednostajna szeregu funkcyjnego - zadanie 10  Rain95  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl