szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Chrzanów
Witam,
mam problem z kilkoma zadaniami. Proszę o pomoc :)
Polecenie:
Wykaż prawdziwość tożsamości:
a)  {n \choose k+2}  {k \choose p} =  {n \choose p}  {n-p \choose k+2-p}
b) {n \choose k} =  \frac{p}{k}  {p-1 \choose k-1}
c) {p \choose k} =  {p-1 \choose k} +  {p-1 \choose k-1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 181
Nie bój się rozpisać obu stron,
bazując na wzorze

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} po prostu w miejsce n wstaw to co zadane, tak samo z podstawieniem pod k.
Pamiętaj, także co to jest silnia.

n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Aha i przyjrzałbym się, czy dobrze przepisałeś, bo np w podpunkcie b)
Z lewej strony mamy zależność od
n
a z prawej od
p

Tożsamość z tego nie może wyjść.

Silnie się poskracają bazując na jej definicji,
np.
\frac{n!}{(n-1)!} =n

\frac{n!}{(n-2)!} =n \cdot (n-1)

Doprowadź wszystko do wspólnego mianownika i na pewno wyjdzie, to elementarne przekształcenia
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2018, o 23:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3469
Lokalizacja: blisko
b.). jest fałszywe...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 01:11 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Chrzanów
Właśnie rozpisywałem te zadania. W każdy z podpunktów zatrzymuje się na pewnym etapie i nie ma co z czym się skrócić :/ Naprawdę, nie mam pojęcia, dlaczego tak wychodzą. Sądzę, że może jakiś wzór? Trochę nad tym siedziałem, ale niestety mam problem :/ Przykład a) jest z kolokwium i nie wiem czy komukolwiek udało się je rozwiązać.

Być może za chwilkę rozpiszę przykłady, w których etapach się zatrzymałem.


c) {p \choose k} =  {p-1 \choose k} +  {p-1 \choose k-1}
\frac{p!}{k!(p-k)!} =  \frac{(p-1)!+(p-1)!*k(p-k-1)}{k!(p-k-1)!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 01:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13142
Lokalizacja: Wrocław
W przykładzie b) (oryginalnie c)) powinno być:
{p \choose k} = \frac{p}{k} {p-1 \choose k-1}. To co jest napisane to bzdura.

Przykład c) można zrobić też przy pomocy interpretacji kombinatorycznej:
wybierasz k spośród p osób (k\le p, p\in \NN, k \in \NN) do reprezentacji Polski w obrażaniu papieża. Z jednej strony ze szkoły wiemy, że możesz zrobić to na {p \choose k} sposobów, z drugiej strony powiedzmy, że wyróżniłeś w tej grupie jakąś konkretną osobę. Rozważ, ile jest wyborów reprezentacji takich, że ta wyróżniona osoba wejdzie w jej skład, a ile jest takich, że ta osoba nie weźmie udziału w szkalowaniu pontifeksa. Ile to będzie łącznie?

-- 10 sty 2018, o 02:56 --

A co do równości
{n \choose k}{k\choose j}={n \choose j}{n-j \choose k-j}, to bez przesady, jak pisał Richard del Ferro, rozpisujesz na silnie, skracasz i do widzenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 02:03 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Chrzanów
a)  {n \choose k+2}  {k \choose p} =  {n \choose p}  {n-p \choose k+2-p}

A równość b) z obrazka wyszła mi bez problemów. To jedyny przykład, z którym nie mam problemu.

Przykład a) z zadania:
a)  {n \choose k+2}  {k \choose p} =  {n \choose p}  {n-p \choose k+2-p}
\frac{k!}{(k+2)!(k-p)!} =  \frac{1}{(k+2-p)!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 02:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13142
Lokalizacja: Wrocław
{n \choose k+2} {k \choose p} = {n \choose p} {n-p \choose k+2-p}
to też nie jest w ogólności prawda, weź p=1, k=2, n=4 i dostaniesz coś nieprawdziwego.

Przekształciłeś to poprawnie, ale po prostu są trzy rodzaje prawd, jak pisał ksiądz Tischner, i teza zadania należy do „tej trzeciej" kategorii (g**** prowda).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 02:11 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Chrzanów
No to mnie pocieszacie :/ Masakra, czasami coś trafia jak siedzę nad zadaniami, a te nie wychodzą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2018, o 10:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3469
Lokalizacja: blisko
Nastąpiła również permutacja (przekształcenie) przykładów z (abc) na (bcd) .

Można się w tym bałaganie pogubić...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż prawdziwość tożsamośći  szczylu  4
 Udowadnianie tożsamości - zadanie 3  wurjasz  2
 Uzasadnianie tożsamości - zadanie 2  bastek91  5
 Zbadać prawdziwość zdań - zadanie 2  lampid  1
 Logika, grafy, tozsamosci: kolokwium  mmsmm  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl