szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 13:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
Treść zadania:
Napisać równanie prostej o współczynniku kierunkowym \sqrt{3} przechodzącej przez punkt A(2;-2). Ile wynosi kosinus kąta nachylenia tej prostej do dodatniej osi odciętych?

Dane:
A(2;-2) oraz a = \sqrt{3}

Wzory:
a = \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} oraz \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1

Równanie kierunkowe prostej y = ax + b, więc podstawiam a = \sqrt{3} oraz punkt A(2,-2)

-2 = \sqrt{3} \cdot 2 + b, stąd b = -2 -2\sqrt{3}

Więc równanie prostej to: y = \sqrt{3}x - 2 - 2\sqrt{3} <--- PIERWSZA CZĘŚĆ ZADANIA

I teraz musimy wyliczyć \cos \alpha:
\begin{cases}  \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{3}\\  \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1  \end{cases}

Z pierwszego równania wyznaczam \sin \alpha:

\sin \alpha = \sqrt{3}  \cdot  \cos \alpha

Podstawiam do drugiego:

(\sqrt{3}  \cdot  \cos \alpha)^2 + \cos ^2\alpha = 1

3  \cdot  \cos ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1

4\cos ^2\alpha = 1 /:4

\cos ^2\alpha = \frac{1}{4}

Odpowiedź:

\cos \alpha = - \frac{1}{2} LUB \cos \alpha = \frac{1}{2} <--- DRUGA CZĘŚĆ ZADANIA

Czy tok rozumienia oraz odpowiedź są prawidłowe?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 13:28 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Kraków
Tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 14:19 
Użytkownik

Posty: 15047
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.

Przyjrzyj się definicji kąta...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 14:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
W takim wypadku wydaje mi się, że jeżeli przyprostokątną będzie dodatnia oś OX, a przeciwprostokątną będzie prosta wyznaczona wzorem y = \sqrt{3}x - 2 - 2\sqrt{3} to przetnie się ona gdzieś w jakimś punkcie z osią OX, gdzie punkt ten będzie dodatni. Wiedząc, że cos = \frac{przyprostokątna (OX)}{prosta} to cos będzie wartością ujemną, więc prawidłową odpowiedzią powinno być: cos\alpha = - \frac{1}{2}

Bo kąt którego szukamy będzie w miejscu przecięcia się osi OX oraz prostej.

Czy już się pogubiłem? :D

Schematyczny rysunek mojego wyobrażenia:

Obrazek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 14:49 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Kraków
a4karo napisał(a):
Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.




Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania. Jedna tworzy z dodatnią osią OX kąt 60 stopni,
natomiast druga kąt 120 stopni.

Odpowiadające tym punktom cosinusy, to: \cos 60^0 =  \frac{1}{2} oraz \cos 120^0 =- \frac{1}{2}

Co ma to tego kąt pomiedzy tymi prostymi ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 72
Lokalizacja: Warszawa
Belf napisał(a):
Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania.


-2 = \sqrt(3) 2 + b
-2 = \sqrt(3) 2 + c
to b = c

Muszę się zgodzić z a4karo, jeden tangens, jeden kosinus.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
Czyli który cosinus jest prawidłowy? Bo ja chyba nie potrafię tego wyjaśnić...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 18:08 
Użytkownik

Posty: 15047
Lokalizacja: Bydgoszcz
Belf napisał(a):
a4karo napisał(a):
Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.



Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania. Jedna tworzy z dodatnią osią OX kąt 60 stopni,
natomiast druga kąt 120 stopni.

Odpowiadające tym punktom cosinusy, to: \cos 60^0 =  \frac{1}{2} oraz \cos 120^0 =- \frac{1}{2}

Co ma to tego kąt pomiedzy tymi prostymi ?


Prosta o współczynniku kierunkowym \sqrt3 jest tylko jedna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 72
Lokalizacja: Warszawa
Vince221 napisał(a):
Czyli który cosinus jest prawidłowy? Bo ja chyba nie potrafię tego wyjaśnić...

W tym zadaniu może być mowa tylko o cosinusie kąta ostrego. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Kraków
Zgoda. Moja pomyłka ,więc przepraszam za wprowadzenie w błąd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl