szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 02:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Udowodnij:

[en!]=n[e(n-1)!]+1

\left[\right] - część całkowita

Rekurencyjnie to wygląda następująco:

a_{1}=1

a_{n+1}=na_{n}+1

Po rozwiązaniu rekurencji, otrzymałem równanie różniczkowe:

y'= \frac{y}{x^2}- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2-x}

po rozwiązaniu równania różniczkowego otrzymałem...

y=Ce^{- \frac{1}{x} }+e^{1- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}-1\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\left( \frac{1}{x}-1 \right)^k }{k \cdot k!} \right] +e^{- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k \cdot k! \cdot x^k} \right]

A teraz strach się bać rozwijać tę funkcję w szereg potęgowy...

Jeżeli ta równość byłaby prawdziwa to ciąg nasz miałby postać:

a_{n}=\left[ e(n-1)!\right]

a nasza funkcja miałaby postać:

y= \sum_{n=1}^{ \infty } \left[ e(n-1)!\right]x^n

Dziwne...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 sty 2018, o 04:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Cytuj:
a_{1}=1\\

a_{n+1}=na_{n}+1

Nie, w równaniu rekurencyjnym powinno być
a_{n+1}=(n+1)a_{n}+1

Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!} dla pewnych \theta_n\in (0,1).
Zatem en!=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{\theta_n}{n}
a także
e(n-1)!=(n-1)! \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!}+\frac{\theta_{n-1}}{n-1}.

Stąd lewa strona Twojej równości, jak nietrudno już się przekonać, jest równa
n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}, zaś prawa wynosi
n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{n!}{n!}=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}
tak, jak chcieliśmy. Dowód wspomnianego szacowania masz na wiki, miałem go też na pierwszym semestrze studiów: opiera się on na spostrzeżeniu, że
\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+k)!} < \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)^k}  =\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}

[ciach]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 09:41 
Gość Specjalny

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!} \ dla \ pewnych \ \theta_n\in (0,1).


Zabawny jest fakt, że tak naprawdę skorzystałeś z rozwinięcia e^x w szereg Taylora :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 10:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
No tak wszystko ładnie wygląda ma swój urok , z jakiej strony by na to nie patrzył ciąg jest ładny i ciekawy... warty żeby się nad tym pochylić choćby ze względów dydaktycznych...


A czy jest jaka§ ciekawa interpretacja tego ciągu coś jak z Fibonacciego, który jak wiadomo ma bardzo szerokie spektrum znaczeń...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciekawa równość - zadanie 2  Zielinsky  5
 Ciekawa rownosc  lmazurek16  1
 Udowodnić równość zbiorów skończonych  blackbird936  4
 Udowodnić równość - zadanie 18  Fredi123  1
 Udowodnij równość z liczbami Stirlinga  uczen23  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl