Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Ciekawa równość - zadanie 3

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

arek1357 Offline

Tytuł: Ciekawa równość

Napisane: 12 sty 2018, o 02:12

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko

Udowodnij:

$[en!]=n[e(n-1)!]+1$

$\left[\right]$ - część całkowita

Rekurencyjnie to wygląda następująco:

$a_{1}=1$

$a_{n+1}=na_{n}+1$

Po rozwiązaniu rekurencji, otrzymałem równanie różniczkowe:

$y'= \frac{y}{x^2}- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2-x}$

po rozwiązaniu równania różniczkowego otrzymałem...

$y=Ce^{- \frac{1}{x} }+e^{1- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}-1\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\left( \frac{1}{x}-1 \right)^k }{k \cdot k!} \right] +e^{- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k \cdot k! \cdot x^k} \right]$

A teraz strach się bać rozwijać tę funkcję w szereg potęgowy...

Jeżeli ta równość byłaby prawdziwa to ciąg nasz miałby postać:

$a_{n}=\left[ e(n-1)!\right]$

a nasza funkcja miałaby postać:

$y= \sum_{n=1}^{ \infty } \left[ e(n-1)!\right]x^n$

Dziwne...

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Ciekawa równość

Napisane: 12 sty 2018, o 04:33

Posty: 12622

Cytuj:

$a_{1}=1\\ a_{n+1}=na_{n}+1$

Nie, w równaniu rekurencyjnym powinno być
$a_{n+1}=(n+1)a_{n}+1$

Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
$e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!}$ dla pewnych $\theta_n\in (0,1)$ .
Zatem $en!=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{\theta_n}{n}$
a także
$e(n-1)!=(n-1)! \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!}+\frac{\theta_{n-1}}{n-1}$ .

Stąd lewa strona Twojej równości, jak nietrudno już się przekonać, jest równa
$n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ , zaś prawa wynosi
$n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{n!}{n!}=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
tak, jak chcieliśmy. Dowód wspomnianego szacowania masz na wiki, miałem go też na pierwszym semestrze studiów: opiera się on na spostrzeżeniu, że
$\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+k)!} < \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)^k} =\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}$

[ciach]

Góra

bakala12 Offline

Tytuł: Re: Ciekawa równość

Napisane: 12 sty 2018, o 09:41

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb

Cytuj:

Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
$e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!} \ dla \ pewnych \ \theta_n\in (0,1)$ .

Zabawny jest fakt, że tak naprawdę skorzystałeś z rozwinięcia $e^x$ w szereg Taylora

Góra

arek1357 Offline

Tytuł: Re: Ciekawa równość

Napisane: 12 sty 2018, o 10:17

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko

No tak wszystko ładnie wygląda ma swój urok , z jakiej strony by na to nie patrzył ciąg jest ładny i ciekawy... warty żeby się nad tym pochylić choćby ze względów dydaktycznych...

A czy jest jaka§ ciekawa interpretacja tego ciągu coś jak z Fibonacciego, który jak wiadomo ma bardzo szerokie spektrum znaczeń...

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Ciekawa równość - zadanie 2	Zielinsky	5
Ciekawa rownosc	lmazurek16	1
Wykorzystując metody kombinatoryczne uzasadnij równość	karpiuch	4
Równośc kombinatoryczna	arabella	1
Udowodnić równość zbiorów skończonych	blackbird936	4

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]