szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Polska
Zadanie z egzaminu z analizy matematycznej:
W ciągu { x_{n} liczb rzeczywistych x_{0}= \pi oraz x _{n+1}= \sqrt{4 x_{n}-3 } dla n \in \mathbb{N}.
Zbadać monotoniczność i wyznaczyć granicę ciągu { x_{n}}.

Moje rozwiązanie:
1) Badam monotoniczność ciągu:
x_{n+1}- x_{n}=\sqrt{4 x_{n}-3 }-x _{n}
Jeżeli x_{n} \in (0,1) \cup (3,+ \infty ) to x_{n+1}<x _{n}
Jeżeli x _{n} \in (1,3) to x_{n+1}>x _{n}
Jeżeli x _{n} \in \left\{1,3 \right\} to x_{n+1}= x_{n}

2) Badam ograniczoność ciągu:
Jeżeli x_{n} \in (0,1) to x_{n+1} \in (0,1)
Jeżeli x_{n} \in(3,+ \infty ) to x_{n+1} \in(3,+ \infty )
Jeżeli x _{n} \in (1,3) to x _{n+1} \in (1,3)

Te trzy implikacje sprawdziłam nie wprost, wychodzi bardzo ładnie więc tego nie przepisuję.

3) Wnioski:
x_{0}= \pi \in (3,+ \infty ) więc zgodnie z powyższymi rozumowaniami \vee n
x_{n} \in (3,+ \infty ) oraz x_{n+1}<x _{n}. Ciąg jest więc ograniczony z dołu przez 3 i malejący\Rightarrow ciąg jest zbieżny do 3.

Mógłby ktoś sprawdzić czy moje wypociny mają sens ? :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
Powinnaś zacząć od wyznaczenia dziedziny. Wzorek nie ma sensu dla x<3/4, a dla niektórych wartości początkowych wzór rekurencyjny nie definiuje nieskończonego ciągu.

Natomiast żeby zrobić zadanie, wystraczy pokazac, że jeżeli punkt startowy jest większy niz 3 to ciąg maleje I jest ograniczony z dołu przez 3.

Innymi słowy, zrobiłaś za dużo i w tym "za dużo" zrobiłaś błędy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 (2 zadania) Zbadaj monotoniczność ciągów  Anonymous  4
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl