szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Nowy Targ
Witam. Mam problem z następującym zadaniem: wyznacz największą wartość wyrażenia \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma jeżeli wiadomo, że \alpha + \beta+ \gamma=360^{\circ} oraz 0^{\circ} \le \alpha ,\beta , \gamma \le 180^{\circ}. Bardzo proszę o pomoc. Dodam jednocześnie, że zależy mi na rozwiązaniu elementarnym. Niekoniecznie chodzi mi o pełne rozwiązanie. Zależy mi raczej na tym, aby ktoś mnie na to rozwiązanie "nakierował".
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 22:36 
Użytkownik

Posty: 1345
Liczyłam trochę na kolanie i nie doliczyłam do końca, więc może wcale nie wyjdzie, ale ja to widzę tak - rzucam pomysł do weryfikacji...
Zmieniam oznaczenia z lenistwa: \alpha =x,\ \beta =y,\ \gamma =z
Istnieje (możliwe, że zdegenerowany) trójkąt ostro- bądź prostokątny o kątach \frac{x}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2}
Postaraj się pokazać, że \sin x+\sin y+\sin z=4\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}
Później skorzystaj z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.
Na koniec musiałbyś dowieść, że suma sinusów kątów w trójkącie nie przekracza \frac{3\sqrt{3}}{2}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 sty 2018, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12426
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Chyba można też ominąć ostatnią część z powyższej propozycji, która jest trudna do zrealizowania bez nierówności Jensena (a może i łatwa jak się ma doświadczenie lub jest się geniuszem jak przedmówczyni, ale sęk w tym, że trudno wpaść na pomysł to omijający).

Najpierw tak: ze wzoru na sumę sinusów i ze wzoru redukcyjnego
\sin x+\sin y+\sin z=2\sin \left( \frac{x+y}{2}\right)\cos\left( \frac{x-y}{2}\right)  -\sin(x+y)\le \\ \le 2\sin\left( \frac{x+y}{2}\right)-\sin(x+y)=2\sin\left( \frac{x+y}{2}\right)\left( 1-\cos\left( \frac{x+y}{2}\right) \right)
i teraz tak:
a) jeśli ktoś uznaje prosty rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej za elementarny, to przychodzi mu się zmierzyć z f(t)=2\sin t(1-\cos t) dla t \in\left[ 0, \pi\right], różniczkujemy, szukamy miejsc zerowych pochodnej w tym przedziale, sprawdzamy czy są tam przyjmowane maksima itd. Serdecznie polecam, to nie jest trudne.

b) jeśli jednak ktoś uzna taką metodę za nieelementarną (choć moim zdaniem prościej zrozumieć rachunek różniczkowy jednej zmiennej niż nierówności między średnimi), to też damy radę: ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta
2\sin t(1-\cos t)=4\sin^3\left( \frac{t}{2}\right)\cos\left( \frac t 2\right), teraz mamy \frac{t}{2}=\frac{x+y}{4} \in \left[ 0, \frac \pi 2\right]
i jeśli u=\sin \left(\frac t 2\right), to możemy zapisać
4\sin^3\left( \frac{t}{2}\right)\cos\left( \frac t 2\right)=4u^3 \sqrt{1-u^2} \le \ldots
(AM-GM).
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 12:40 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Nowy Targ
Chodzi mi raczej o sposób bez rachunku różniczkowego. Masz rację. Z nierówności między średnimi możnaby to zrobić. Ja wpadłem jednak na prostszy sposób. Kąty sumują się do kąta pełnego. Za wierzchołki kątów obieram wspólny punkt O. Niech ten punkt będzie środkiem okręgu o promieniu r. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kątów oznaczam kolejno: A,B,C. Pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABO, ACO oraz BCO, która wynosi \frac{1}{2} r^{2}\left( \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\right). Jednocześnie pole trójkąta ABC jest maksymalne, gdy jest on równoboczny (nietrudny dowód pozwolę sobie pominąć), co implikuje \alpha = \beta =\gamma. W każdym razie dzięki za chęci. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 15094
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ten dowód jest fajny, tylko nie uwzględnia faktu, że jeden z tych kątów może być większy od 180^\circ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 13:55 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Nowy Targ
W zadaniu jest podane, że każdy z kątów jest nie większy od 180^{\circ}. Jeśliby nawet któryś był większy od 180^{\circ}, to sinus tego kąta jest ujemny. Suma sinusów pozostałych dwóch kątów jest niewiększa od 2, a ponieważ \frac{3 \sqrt{3} }{2}>2, to uzyskane rozwiązanie jest prawidłowe nawet jeżeli dopuścimy przypadek, w którym jeden z kątów ma miarę większą od 180^{\circ}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 08:13 
Użytkownik

Posty: 15094
Lokalizacja: Bydgoszcz
A-B napisał(a):
W zadaniu jest podane, że każdy z kątów jest nie większy od 180^{\circ}.

Faktycznie, przeoczyłem to.

Bez powoływania się na maksymalność pól i na nierówność Jensena można to zrobić tak.

Przypuśćmy, że dla kątów \alpha, \beta,\gamma wyrażenie ma największą wartość i \alpha\neq \beta.

Wtedy
\sin\frac{\alpha+\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}+\sin \gamma>2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin \gamma=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma

Widać więc, że zastąpienie kątów \alpha i \beta przez ich średnie arytmetyczne powoduje zwiększenie sumy, co przeczy założeniu o największej wartości.

To rozwiązanie ma jeden słaby punkt (który dość prosto naprawić). Czy potraficie go wskazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Nowy Targ
Jakoś nie widzę tego słabego punktu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 15094
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Przypuśćmy, że dla kątów \alpha, \beta,\gamma wyrażenie ma największą wartość


a musi to maksimum istnieć?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 sty 2018, o 16:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12426
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Ja bym powiedział, że musimy najpierw wiedzieć, iż ta największa wartość w ogóle jest osiągana, czego nie potrzebujemy w poprzednich metodach (swoją drogą piękne to geometryczne rozwiązanie).
To wynika z twierdzenia Weierstrassa (funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga kresy), ale wydaje mi się, że powołanie się na coś takiego (zdecydowanie nieelementarnego) zabiera większość uroku.

Choć niewykluczone, że to jest podobna sytuacja, jak tutaj: 134802.htm#p499196 i ja po prostu nie rozumiem matematyki.

-- 14 sty 2018, o 16:38 --

O, spóźniłem się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Nowy Targ
No tak. Rzeczywiście musimy się powołać na założenie, że maksimum istnieje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 15094
Lokalizacja: Bydgoszcz
Albo wykonać takie rozumowanie: Niech D(\alpha,\beta,\gamma) będzie "średnicą zbioru" \{\alpha,\beta,\gamma\} czyli największą odległością między jego elementami.

Łatwo pokazać, że jeżeli \alpha\leq \beta\leq \gamma i \alpha\neq\gamma to D\left(\frac{\alpha+\gamma}{2},\frac{\alpha+\gamma}{2},\beta\right)\leq \frac{1}{2}D(\alpha,\beta,\gamma)

A to znaczy, że kontynuacja tej procedury w nieskończoność prowadzi do sytuacji gdy kąty stają się dowolnie bliskie i wynik wywnioskujemy z ciągłości sinusa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz wartość sinusa  Anonymous  5
 Rozwiaż nierówność trygonometryczną - zadanie 8  Tama  5
 Rozwiąż nierówność trygonometryczną w przedziale <  the moon  1
 Arctg i funkcja do niego odwrotna.  Anonymous  1
 Oblicz wartość funkcji sinus  veild  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl