szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Polska
Mam problem z taką granicą:

\lim_{n \to + \infty }= \frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 13 sty 2018, o 16:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Jako że \sqrt{n} \le  \frac{n}{2} to n^{ \sqrt{n}} \le n^{ \frac{n}{2} } czyli \frac{n!}{n^{ \sqrt{n}}} \ge  \frac{n!}{n^{ \frac{n}{2} }}. Na forum wielokrotnie pokazywano (indukcyjnie) że zachodzi też n! \ge \left(  \frac{n}{e} \right)^n stąd oszacowanie

\frac{n!}{n^{ \sqrt{n}}} \ge  \frac{n^n}{e^n n^{ \frac{n}{2} }}= \left(  \frac{ \sqrt{n} }{e} \right)^n.

A na mocy twierdzenia o 2 ciągach i oszacowania dostajemy odpowiedź.

\lim_{n \to  \infty }\frac{n!}{n^{ \sqrt{n}}}= \infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 16:17 
Gość Specjalny

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb
Skorzystaj ze znanej nierówności:
n! > \left(\frac{n}{3}\right)^{n} i twierdzenia o dwóch ciągach.
EDIT: Co za spóźnienie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 16:39 
Administrator

Posty: 22967
Lokalizacja: Wrocław
Maslow napisał(a):
Mam problem z taką granicą:

\lim_{n \to + \infty }= \frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }

Na pewno masz problem z zapisem. Powinno być

\lim_{n \to + \infty }\frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }=

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 12660
Inaczej:
\ln\left( \frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }
 \right)^{\frac 1 n}= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \ln k-\frac{\ln n}{\sqrt{n}}=\ln n+ \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \ln \left( \frac k n\right)-\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\stackrel{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty
(bo \lim_{n \to  \infty } \sum_{k=1}^{n}\frac 1 n \ln \left( \frac k n\right)= \int_{0}^{1}\ln x\,\dd x=\bigg(x\ln x-x\bigg)\bigg|^{x=1}_{x\rightarrow 0^+} =-1),
więc tym bardziej
\lim_{n \to  \infty } \ln \left( \frac{n!}{n^{\sqrt{n}}}\right)=+\infty, a stąd i z nierówności x>\ln x w dodatnich mamy
\lim_{n \to  \infty } \frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }=+\infty.

-- 13 sty 2018, o 17:16 --

To moje powyżej to chyba najbrzydsze i najbardziej skomplikowane rozwiązanie jak dotąd, więc dodam, że można i tak:
co najmniej \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor spośród liczb 1,2 \ldots n przekracza \frac{n}{2} (ewentualnie może być jeszcze równa dla parzystych n), więc n!>\left( \frac n 2\right)^{\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor}=\left( \frac{n^2}{4}\right)^{\frac 1 2\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor}
i dla n\ge 4 mamy
\frac{n^2}{4}\ge n, zatem
\left( \frac{n^2}{4}\right)^{\frac 1 2\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor} \ge n^{\frac 1 2\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor} i teraz zauważmy, że \frac 1 2\left\lfloor \frac n 2\right\rfloor\ge \frac 1 2 \cdot \frac {n-1}{2}
i wobec tego wystarczy uzasadnić, że
\frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}>1+\sqrt{n}, n\ge 25, a to się sprowadza do:
\left(\sqrt{n}-5\right)\left(\sqrt{n}+1)>0, co dla n\ge 25 oczywiście jest prawdą,
by otrzymać szacowanie (słabe, ale w zupełności wystarczające)
\frac{n!}{ n^{ \sqrt{n} } }\ge n dla n\ge 25.
Nawet indukcji w tym rozwiązaniu nie potrzeba.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica z silnia i pierwiastkiem  kaina87  11
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl