szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Kraków
Witam,
Mam problem z pewną granicą:
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{\sum_{k=1}^n k^\frac{5}{2}}}{\sqrt{\sum_{k=1}^n k^\frac{3}{2}}}
Mathematica wypluwa mi, że to powinno być 0, ale nie mam pomysłu jak do tego siąść.
Próbowałem ograniczyć górę z nierówności trójkąta, ale to nic nie dało. Jakieś pomysły?
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 00:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Można by skorzystać z rachunku całkowego.
\sum_{k=1}^{n} k^{\frac 5 2}=n^{\frac 7 2} \sum_{k=1}^{n} \frac 1 n\left( \frac k n\right)^{\frac 5 2}
oraz
\sum_{k=1}^{n}k^{\frac 3 2}=n^{\frac 5 2} \sum_{k=1}^{n}  \frac 1 n\left( \frac k n\right)^{\frac 3 2}

Teraz tak:
\lim_{n \to  \infty }  \sum_{k=1}^{n} \frac 1 n\left( \frac k n\right)^{\frac 5 2} = \int_{0}^{1} x^{\frac 5 2}\,\dd x=\frac{2}{7}
oraz
\lim_{n \to  \infty }  \sum_{k=1}^{n} \frac 1 n\left( \frac k n\right)^{\frac 3 2} = \int_{0}^{1} x^{\frac 3 2}\,\dd x=\frac{2}{5},
no a z tymi potęgami n chyba sobie poradzisz.

-- 14 sty 2018, o 01:50 --

Jeżeli zaś nie znasz lub z jakichś powodów nie chcesz stosować rachunku całkowego, to chyba pozostaje zgadnąć, że
\sum_{k=1}^{n} k^{\frac 5 2} jest rzędu n^{\frac 7 2}, zaś
\sum_{k=1}^{n}k^{\frac 3 2} jest rzędu n^{\frac 5 2}
i sformalizować to za pomocą twierdzenia Stolza-Cesaro:
\lim_{n \to  \infty }  \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{\frac 5 2}}{n^{\frac 7 2}} = \lim_{n \to  \infty } \frac{n^{\frac 5 2}}{n^{\frac 7 2}-(n-1)^{\frac 7 2}}= \lim_{n \to  \infty } \frac{n^{\frac 5 2}\left( n^{\frac 7 2}+\left( n-1\right) ^{\frac 7 2}\right) }{n^7-(n-1)^{7}}
i teraz jak sobie przypomnisz wzór dwumianowy Newtona, to wywnioskujesz, że
n^7-(n-1)^7=7n^6+\mathcal{O}(n^5), a stąd, po podzieleniu licznika i mianownika przez n^6, już nietrudno wywnioskować, że
\lim_{n \to \infty } \frac{n^{\frac 5 2}\left( n^{\frac 7 2}+\left( n-1\right) ^{\frac 7 2}\right) }{n^7-(n-1)^{7}}=\frac{2}{7}

Analogicznie można zrobić z tą drugą sumą i wniosek jest taki, że
\lim_{n \to \infty } \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{\frac 3 2}}{n^{\frac 5 2}} = \frac{2}{5}.

Tak że o ile miałeś nie używać rachunku całkowego, jeśli prowadzący/sprawdzający by Cię zapytał, skąd wziąłeś to n^{\frac 5 2} i n^{\frac 7 2}, to hardo odpowiedz, że z tego samego miejsca, z którego wzięte są pomysły, żeby dawać zadania typu „oblicz bez stosowania własności x".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 08:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1756
Lokalizacja: hrubielowo
Intuicyjne pojęcie rzędu można argumentować takim podejściem, zauważamy że:

1^0+2^0+3^0+...+n^0\sim n^1

1^1+2^1+3^1+...+n^1\sim n^2

1^2+2^2+3^2+...+n^2\sim n^3

itd. Naturalne staje się pytanie teraz czy zachodzi ogólny wzór:

1^ \alpha +2^ \alpha +3^ \alpha +...+n^ \alpha \sim n^{ \alpha +1}

Odp to tak. Bo:

\lim_{n \to  \infty } \frac{1^ \alpha +2^ \alpha +3^ \alpha +...+n^ \alpha }{ n^{ \alpha +1}}= \int_{0}^{1}x^ \alpha  \mbox{d}x = \frac{1}{1+ \alpha }

Teraz z wykorzystaniem tej asymptotycznej zależności można już policzyć tą granicę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie. Suma szeregów geometrycznych  Margaretta  2
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl