szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 14:43 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Mielec
Udowodnić, że \ZZ[ \sqrt{5}] i \ZZ[i] nie są izomorficzne.

Znam definicję izomorfizmu, ale nie wiem jak zrobić to zadanie.
Lepiej udowodnić że izomorfizm nie istnieje czy wskazać jakąś znaczącą różnicę która pokaże że to nie są izomorficzne struktury? Jakieś wskazówki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 14:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2991
Lokalizacja: Radom
Załóż, że izomorfizm istnieje. Więc jedynka przechodzi na jedynkę, a zatem liczby całkowite przechodzą na liczby całkowite. W pierwszym pierścieniu równanie x^2 =5 ma rozwiązanie. Czy jest to prawdą w drugim?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 15:11 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Mielec
x^{2}=5 \Rightarrow x= \sqrt{5} , x= -\sqrt{5}
To że rozwiązanie istnieje w \ZZ[ \sqrt{5}] jest oczywiste.

\sqrt{5}=a+bi
Wystarczy powiedzieć że b musiałoby być 0, i że a=\sqrt{5} nie należy do całkowitych więc cała liczba nie należy do tego pierścienia?

Czy trzeba to jakoś dodatkowo rozpisać bo może być inny układ niż 0 i \sqrt{5} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 16:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2991
Lokalizacja: Radom
Cytuj:
\sqrt{5}=a+bi


Ale przecież to równanie nie ma absolutnie żadnego sensu w \ZZ[i]!
Używasz w równaniu elementu \sqrt{5}, o którym w ogóle nie wiadomo, czy istnieje. (a jeśli istnieje, to równanie w oczywisty sposób ma rozwiązanie)

Ciebie interesuje, czy \sqrt{5} istnieje, więc chcesz rozwiązać równanie 5 = (a+bi)^2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Mielec
Myślałam że mogę przypuścić że \sqrt{5} istnieje w Z[i] przy pewnych a,b i potem stwierdzić że to jednak niemożliwe, ale tu faktycznie poszłam za bardzo na skróty.

Czyli:
5=(a+bi)^{2}
5=a^{2}+2abi-b^{2}

No i teraz mogę stwierdzić że 2ab=0 bo nie ma żadnej części urojonej po lewej?
Czyli a=0 lub b=0 itd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2018, o 17:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2991
Lokalizacja: Radom
Tak
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Izomorfizm pierścieni.  pawlo392  3
 Izomorfizm miedzy grupami  leg14  16
 Izomorfizm grup cyklicznych  tukanik  6
 Kilka pytańdo pierścieni i ciał  KasienkaG  6
 Izomorfizm grup - problem z dowodem  ann29  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl