szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 06:01 
Użytkownik

Posty: 48
Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których układ
\begin{cases} y=ax ^{2}+4  \\ x ^{2}+y ^{2}=16   \end{cases}
ma jedno rozwiązanie.
Zadanie wydaje się proste, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi. W odpowiedzi jest -\frac{1}{16} , a mi wychodzi -\frac{1}{8} . Na dodatek żadne z tych rozwiązań nie uwzględnia odpowiedzi a=0 , a podstawiając a=0 mamy tylko jedno rozwiązanie: y=4,\ x=0 .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 06:52 
Użytkownik

Posty: 15807
Lokalizacja: Bydgoszcz
Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla a\geq 0 parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez a (nie wolno tego zrobić gdy a=0 ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
y=16a-ay^2+4=0, czyli ay^2+y-16a-4=0
którego wyróżnik jet równy (8a-1)^2 , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla a=-1/8 jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości y . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko -4\leq y\leq 4 .

Przeanalizuj to jeszcze raz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 10:04 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla a\geq 0 parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.

No jak dla mnie, to dla a=0 nie ma paraboli. :D

a4karo napisał(a):
Mnożąc drugie równanie przez a (nie wolno tego zrobić gdy a=0 ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
y=16a-ay^2+4=0

Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że y=0 ; jakiś błąd się Panu wkradł.

a4karo napisał(a):
czyli ay^2+y-16a-4=0 , którego wyróżnik jet równy (8a-1)^2 , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla a=-1/8 jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości y . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko -4\leq y\leq 4 .
Przeanalizuj to jeszcze raz.

A dla a = -\frac{1}{8} mamy y = 4 , a więc mieści się nawet w zakresie wspomnianym przez Pana.

Dla a = -\frac{1}{16} z zadania mamy \Delta =\frac{9}{4}

y_1 = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{8}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20 –> nie spełnia warunków zadania,
y_2 = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{8}} = -4 –> spełnia warunki zadania.

A jak dojść do tego a = -\frac{1}{16} ?
Można zrobić metodą a4karo, tylko przy założeniu -4 \le y \le 4 .

I rozwiązywać na dwa sposoby:
\Delta = 0 (to już zrobione) oraz \Delta > 0,\ y_1 \in \left\langle -4;4 \right\rangle\ \wedge\ y_2 \not \in \left\langle -4;4 \right\rangle .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 14:30 
Użytkownik

Posty: 15807
Lokalizacja: Bydgoszcz
PoweredDragon napisał(a):
No jak dla mnie to dla a = 0 nie ma paraboli. :D

Już posypuję głowę popiołem.

Cytuj:
a4karo napisał(a):
Mnożąc drugie równanie przez a (nie wolno tego zrobić gdy a=0 ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
y=16a-ay^2+4=0

Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że y = 0 ; jakiś błąd się Panu wkradł.

A gdzie ja zakłądałem y=0 ?

Cytuj:
A dla a = -\frac{1}{8} mamy y = 4 ,

To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt (0,4) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości a jest to jedyny punkt wspólny.
Gdy a zmierza od zera do minus nieskończoności, te parabole są najpierw bardzo płaskie, więc drugiego punktu przecięcia nie będzie. Jak w końcu dotkną okręgu, to potem już zawsze będą go przecinać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
Cytuj:
y=16a-ay^2+4=0

To jest założenie, że y = 0 , bowiem ze zsumowania tamtych układów otrzymujemy jedynie
y = 16a-ay^2+4 , ale nie mamy równości z zerem. Mówiłem, gdzieś wkradł się jakiś błąd.

a4karo napisał(a):
To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt (0,4) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości a jest to jedyny punkt wspólny.

A dla a = -\frac{1}{8} mamy niby więcej punktów wspólnych? No właśnie nie, więc jest to rozwiązanie zadania. (Poza tym teraz zauważyłem, że wyróżnik Pan źle zapisał, bo jest (8a+1)^2 ). Chyba, że ja czegoś nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 15807
Lokalizacja: Bydgoszcz
No to jeszcze raz ze stosownymi poprawkami. Dzięki Smoku. :D

a4karo napisał(a):
Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla a\geq 0 parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez a (nie wolno tego zrobić gdy a=0 ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
y=16a-ay^2+4 , czyli ay^2+y-16a-4=0 , którego wyróżnik jet równy (8a+1)^2 , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że jedynie dla a=-1/8 jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości y . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko -4\leq y\leq 4 .

Przeanalizuj to jeszcze raz.

Zauważyć warto, że dla dowolnego a rozwiązaniem układu jest y=4 . A skoro tak, to drugi pierwiastek to \frac{16a-4}{a} i trzeba zbadać kiedy ten pierwiastek leży w przedziale [-4,4]

a=-1/16 wydaje się być błędem.

-- 16 sty 2018, o 15:19 --
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 11:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4419
Lokalizacja: Łódź
a4karo napisał(a):
a=-1/16 wydaje się być błędem.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(y%3D(-1%2F16)*x%5E2%2B4);+(x%5E2%2By%5E2%3D16);)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 05:26 
Użytkownik

Posty: 15807
Lokalizacja: Bydgoszcz
kropka+ napisał(a):

Ten rysunek może sugerować (choć daleko mu do dowodu), że dla a=-1/16 układ równań ma jedynie zerowe rozwiązanie. Zauważ jednak, że w zadaniu jest pytanie o WSZYSTKIE wartości parametru.
Na pewno zatem nie jest to odpowiedź poprawna, a napisałem, że wydaje się być błędem, bo nie jest to nawet wartość graniczna, gdzie zmienia się ilość rozwiązań.


Ponieważ w postach powyżej namieszałem ostro, zamieszczam dwa rozwiązania:

Rozwiązanie 1

Łatwo zauważyć (np. geometrycznie), że dla a=0 układ równań ma jedyne rozwiązanie (0,4) .
Załóżmy, że a\neq 0 , pomnóżmy drugie równanie przez a i wyrugujmy zmienną x .
Otrzymamy równanie:
(*)\quad ay^2+y-4(4a+1)=0
Widać, że dla dowolnego a\neq0 , y=4 jest pierwiastkiem tego równania. Ze wzorów Viete'a drugim pierwiastkiem jest:
y_a=-\frac{4a+1}{a}=-4-\frac{1}{a}

Widać stąd, że dla dodatnich a pierwiastek y_a jest mniejszy niż -4 , nie może zatem spełniać drugiego równania z układu. Podobnie będzie, gdy y_a>4 , czyli gdy a<-1/8 .
Dla a=-1/8 mamy y_a=4 co też daje jedno rozwiązanie układu.

Dla -1/8<a<0 mamy -4<y_a<4 , a to daje dodatkowe dwa rozwiązanie układu równań.

Odpowiedź: układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy a\geq -\frac{1}{8} .

Rozwiązanie 2

Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i rugując y^2 dostajemy równanie:
a^2x^4+(8a+1)x^2=0 , czyli x^2(a^2x^2+8a+1)=0 .

Widać, że jednym z rozwiązań jest x=0, co daje punkt (0,4) .
Drugie zaś, to x_a^2=-\frac{8a+1}{a^2} , przedstawia punkt przecięcia okręgu i paraboli różny od (0,4) wtedy i tylko wtedy, gdy:
(**)\quad 0<-\frac{8a+1}{a^2}\leq 16

Prawa nierówność jest spełniona zawsze, lewa dla a<-1/8 .
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 układ równan z parametrem  kuternoga  3
 Ukłąd równań z parametrem  metka  1
 układ równań z parametrem - zadanie 25  pablo5  2
 układ równań z parametrem - zadanie 31  tomcio_x  3
 układ równań z parametrem - zadanie 46  mateusz200414  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl