szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: granica ciągu
PostNapisane: 16 sty 2018, o 14:19 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Hej. :) Mam taką granicę
a_{n}=\lim_{ n \to  \infty }  \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n} }

Rozwiązanie jest następujące.
1=\sqrt{ \frac{2}{\pi} \cdot  \frac{1}{n}  } \le a_{n} \le  \sqrt[n]{1}=1
I z trzech ciągów a_{n}=1

W uzasadnieniu podano, że jest tak, ponieważ \sin x \ge  \frac{2x}{\pi} dla x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego możemy skorzystać z tego oszacowania skoro zachodzi ono tylko dla tego małego przedziału? Czy nie powinno takie oszacowanie być prawdziwe dla każdego n?
Dlaczego na podstawie tego, że w jakimś przedziale zachodzi dane oszacowanie wnioskujemy o granicy w nieskończoności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2018, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 12660
Dla każdego n \in \NN^+ jest \frac{1}{n} \in \left( 0, \frac \pi 2\right), bo \frac{\pi}{2}>1\ge \frac 1 n>0, więc całkowicie wystarcza Ci prawdziwość wspomnianej nierówności w tym przedziale.

Można też skorzystać z nierówności \tg x>x dla x\in\left( 0, \frac \pi 2\right), by wywnioskować, że
\sin\left( \frac 1 n\right) >\frac 1 n \cdot \cos\left( \frac 1 n\right), a więc
\sqrt[n]{\sin\left( \frac 1 n\right) } \ge  \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \cdot  \sqrt[n]{\cos\left( \frac 1 n\right)  }>\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{2}},
gdyż \frac{\pi}{3}>1, a \cos \left( \frac \pi 3\right) =\frac 1 2
i funkcja cosinus jest malejąca (i dodatnia) w pierwszej ćwiartce.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl