szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 198
Lokalizacja: Mielec
Podczas rozwiązywania zadań napotkałam dwie trudności:

1) Czy rozkład jest jednoznaczny?

Pierścień \ZZ[i \sqrt{7}] , element 9+i\sqrt{7} .

Według moich obliczeń 9+i\sqrt{7}=(1+i\sqrt{7})(2-i\sqrt{7})=(-1-i\sqrt{7})(-2+i\sqrt{7}) , no to jak dla mnie rozkład jednoznaczny. Natomiast w odpowiedzi jest napisane, że w tym przypadku rozkład jest niejednoznaczny. Czy coś przeoczyłam?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 12914
Moim zdaniem nic nie przeoczyłaś i w odpowiedzi jest źle napisane. Ale może po prostu też dałem się złapać.

Po pierwsze w \ZZ[i\sqrt{7}] funkcja v, która liczbie a+i\sqrt{7}b przypisuje a^2+7b^2, jest normą euklidesową (w tym znaczeniu z algebry, nie z analizy). W notatkach odgrzebałem taki jakiś warunek:
niech R będzie pierścieniem (przemiennym? Nie widzę, ale to może było domyślne). Wtedy funkcja v: R\setminus \left\{ 0\right\}  \rightarrow \NN jest normą euklidesową, gdy
(\forall a,b \in R\setminus \left\{ 0\right\})(\exists q,r\in R)\left(b=qa+r \wedge \left(v(r)<v(a)\vee r=0\right)\right)
Nie chce mi się go sprawdzać, bo to chyba jakieś wyjątkowo żmudne rachunki, ale na oko powinno być dobrze.


Ponadto norma euklidesowa jest multyplikatywna, tj. w szczególności dla powyższej funkcji v mamy
v\left( (a+b\sqrt{7}i)(c+d\sqrt{7}i)\right)=v(a+b\sqrt{7}i)\cdot v(c+d\sqrt{7}i)

No to teraz spójrzmy na element 9+i\sqrt{7}. Mamy v(9+i\sqrt{7})=9^2+7\cdot 1^2=88. Nietrywialne rozkłady 88 na czynniki dodatnie to
88=2\cdot 44=11\cdot 8=4\cdot 22. Łatwo jednak widać, że jeśli liczba
\ZZ[i\sqrt{7}]\ni z ma nietrywialną część urojoną, to ma normę euklidesową nie mniejszą niż 7, co po chwili refleksji i spojrzeniu na 9+i\sqrt{7} wyklucza możliwość istnienia rozkładu 9+i\sqrt{7} na takie czynniki z \ZZ[\sqrt{7}i], z których jakiś ma normę euklidesową równą 2 albo 4 (musiałyby to być liczby całkowite).
Pozostaje rozkład z 11\cdot 8.
Ponieważ 8 nie jest kwadratem liczby całkowitej, zatem jedyne elementy
\ZZ[i\sqrt{7}], które mają normę euklidesową równą 8 są postaci \pm1\pm\sqrt{7}i (dowolna kombinacja znaków).
Podobnie normę euklidesową równą 11 mają w \ZZ[\sqrt{7}i] tylko liczby postaci \pm 2\pm\sqrt{7}i (dowolna kombinacja znaków).
Łatwo zauważyć, że działa rozkład
9+i\sqrt{7}=(1+i\sqrt{7})(2-i\sqrt{7}) podany przez Ciebie, równie dobrze więc się sprawdzi wspomniany rozkład
9+i\sqrt{7}=(-1-i\sqrt{7})(-2+i\sqrt{7}),
ale -1 jest elementem odwracalnym w \ZZ[\sqrt{7}i], więc to nie jest istotnie różny rozkład (tak mnie przynajmniej uczono).
Pozostałe możliwości nie dają nam rozkładu 9+i\sqrt{7}, na przykład dlatego, że dla liczby zespolonej z spełniającej \Im z\neq 0 mamy z\neq \overline z, a także zachodzi \overline{zw}=\overline z\cdot \overline w.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 02:47 
Użytkownik

Posty: 198
Lokalizacja: Mielec
W ten sam sposób (no, może trochę mniej dokładny) doszłam do tego wyniku, dzięki za szczegółowy opis i rozwianie moich wątpliwości ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 11:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
Premislav, tangerine11, uwaga werble.... tarararararar
To nie jest norma euklidesowa :D. Co nie znaczy, że analiza jest zła. Bo przecież Premislav korzystałeś tylko z tego, że to norma ,,z analizy"
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 sty 2018, o 11:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3383
Lokalizacja: blisko
A jaka to norma?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 11:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
arek1357, Premislavowi chodziło o coś takiego https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain, gdy mówił o algebraicznej normie euklidesowej i nie miał racji. Natomiast mamy norme pochodzącą od zwyczajnej normy euklidesowej "z analizy" na lizbach zespolonych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 12914
Faktycznie, mam nauczkę, żeby nie pisać „na oko", dzięki za zwrócenie uwagi, leg14.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkład na czynniki. - zadanie 3  Gustaf  5
 Rozkład na czynniki.  dombel  13
 Rozkład na czynniki. - zadanie 2  Bolo33  3
 Rozłożyć wielomian na czynniki nierozkładalne - zadanie 3  inusia146  4
 zapis permutacji - rozkład na cykle  montechristo  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl