szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witam. Mam problem z tym zadaniem: Rozwiń funkcję f(x) = \sqrt{x} w szereg Taylora dla a = 1 (włącznie z trzecią pochodną), a następnie korzystając z tego rozwinięcia oblicz przybliżoną wartość \sqrt{1,5}

Wzór, z którego mam skorzystać wygląda następująco: f(x)=f(a)+ \sum_{ n=1}^{\infty }  \frac{f ^{(n)}(a)}{n!}(x-a) ^{n}

Co sam zrobiłem?:

Obliczyłem pochodne (do trzeciej, jak podane w zadaniu)
Obliczyłem wartości dla pochodnych

Nie wiem gdzie jednak umieścić we wzorze wartość \sqrt{1,5}. To jest mój x? W jaki sposób rozwinąć szereg? Prosiłbym bardzo o wytłumaczenie krok po kroku.

Jest to mój pierwszy post, więc jak coś jest nie tak (zły dział, zły tytuł, niepoprawny zapis) wysłucham uwag i jak najszybciej postaram się to poprawić :wink:

EDIT:
Może dodam jeszcze do jakiej postaci doszedłem korzystając z tego wzoru: 1+  \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x} }}{1!}+  \frac{\frac{1}{(4x ^{ \frac{3}{2}) ^{2}  } }}{2!}+ \frac{(8x ^{ \frac{5}{2}) ^{3}  } }{3!}

Czy to jest poprawnie? Co dalej? Pod x mam wstawić \sqrt{1,5} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 12657
f(x)=\sqrt{x}, \ f(1)=1\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ f'(1)=\frac 1 2\\ f''(x)=-\frac{1}{4x^{\frac 3 2}}, \ f''(1)=-\frac 1 4\\ f'''(x)= \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}}, \ f'''(1)=\frac{3}{8}
Ogólnie można zauważyć, że
f^{(n)}(x)=n!{\frac 1 2\choose n} x^{\frac 1 2-n}, więc f^{(n)}(1)=n!{\frac 1 2\choose n}
Dowód indukcyjny faktu, że dla f(x)=\sqrt{x} mamy
f^{(n)}(x)=n!{\frac 1 2\choose n} x^{\frac 1 2-n}:
1^{\circ} Dla n=0 wystarczy podstawić i się zgadza.
2^{\circ} Jeśli f^{(n)}(x)=n!{\frac 1 2\choose n} x^{\frac 1 2-n} dla pewnego n \in \NN, to
f^{(n+1)}(x)=\left( \frac 1 2-n\right) n!{\frac 1 2\choose n}x^{\frac 1 2-(n+1)}=\\=\left( \frac 1 2-n\right)x^{\frac 1 2-(n+1)} \prod_{k=0}^{n-1}\left( \frac 1 2-k\right) =x^{\frac 1 2-(n+1)} \prod_{k=0}^{n}\left( \frac 1 2-k\right) =(n+1)!{\frac 1 2\choose n+1}x^{\frac 1 2-(n+1)}
i tyle.
Zatem dla |x-1|<1 bodajże mamy
\sqrt{x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(1)(x-1)^n= \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac 1 2\choose n}\left( x-1\right)^n
Kładąc teraz x=1,5 i biorąc wyrazy tego rozwinięcia do zawierającego trzecią pochodną włącznie, otrzymujemy przybliżenie:
\sqrt{1,5}\approx 1+\frac 1 2\left( 1,5-1\right) -\frac 1 8\left( 1,5-1\right)^2+\frac 1{16}(1,5-1)^3
i jak chcesz, to zsumuj to sobie za pomocą kompa czy kalkulatora.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 23:53 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za odpowiedź i rozwiązanie. Największy problem leżał jednak w tym iż w odpowiedziach mam podany wynik (tę przybliżoną wartość) 2,2266 co wprowadziło mnie w błąd i trochę za dużo zacząłem kombinować
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora  Szemek  1
 Rozwiniecie funkcji w szereg Taylora  JarTSW  4
 rozwinięcie funkcji w szereg Taylora - zadanie 3  xxxxx  1
 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora - zadanie 5  inusia146  1
 Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora - zadanie 8  Enhansa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl