szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Na przykładzie liczby \epsilon wykazać, że aksjomat kresu górnego nie jest prawdziwy dla liczb wymiernych. Udowodnić że liczba \epsilon nie jest postaci \frac{p}{q}. Gdzie p,q \in N
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2018, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 12660
Co to jest aksjomat kresu górnego? Nie pamiętam.
Dowód niewymierności liczby e:
Przypuśćmy nie wprost, że liczba e jest wymierna. Tj. dla pewnych p\in \ZZ, \ q\in \NN^+ takich, że (p,q)=1 jest e=\frac{p}{q}.
Mamy
e= \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} +\frac{\theta_n}{n \cdot n!},
gdzie \theta_n \in (0,1) (dowód na wiki, choć i tak jest to stosunkowo nietrudne ćwiczenie).
Weźmy teraz n=q, tj.
\frac{p}{q}=\sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}+\frac{\theta_q}{q\cdot q!}
Mnożymy stronami przez q! i w efekcie po lewej stronie dostajemy liczbę całkowitą, p\cdot(q-1)!, zaś po prawej sumę
\sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}, czyli liczby całkowitej, i \frac{\theta_q}{q}, czyli liczby z przedziału (0,1). Jest to sprzeczność, która kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Liczba Eulera - dowód  gabrysb1995  4
 Dowód z sumami  rabbitvon  1
 prosty dowód - zadanie 2  kolegasafeta  3
 Liczba Eulera: oblicz granicę  Lonc  1
 granica ciągu,liczba Eulera,tw o 3 ciągach  seele  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl