szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Polska
Do policzenia taka granica:
\lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1}  }{n}

Zastosowałam twierdzenie Stolza:

\lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1}  }{n}=\lim_{ n\to+ \infty  } \sqrt[4]{n^4+1}=+ \infty

Rozwiązałam to zadanie w jednej linijce, a było za nie do zdobycia aż dziesięć punktów...
Czy to jest dobrze rozwiązane ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 20:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Dla mnie nie jest w ogóle jasna postać tej sumy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Polska
Dla mnie też nie, ale tak zadanie było sformułowane na kolokwium. Nie zrobiłam go, tylko strzeliłam że granica ma być równa plus nieskończoność i za to dostałam jeden punkt. Będę to kolokwium poprawiać, więc próbuję ogarnąć to zadanie, na razie jedyne rozwiązanie na jakie wpadłam to te z tw. Stolza, co ma sens bo to ulubione twierdzenie naszego profesora jeżeli chodzi o ciągi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 22:10 
Administrator

Posty: 22967
Lokalizacja: Wrocław
Maslow napisał(a):
Dla mnie też nie, ale tak zadanie było sformułowane na kolokwium.

Tak na pewno nie było sformułowane. Co najwyżej tak:

\lim_{ n\to+ \infty }\frac{ \sqrt[4]{1}+...+ \sqrt[4]{n^4+1} }{n}=

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 179
Wydaje mi się, że trzeba zinterpretować te sumę od drugiej w strony t.j.

S= \sqrt[4]{n^4+1} + \sqrt[4]{(n-1)^4+1} + \sqrt[4]{(n-2)^4+1} + ... + \sqrt[4]{1^4+1} + \sqrt[4]{0^4+1}

t.j. istnieje wyraz ciągu ({a_{n}}) taki, że a_{0} .

Ale mogę się mylić.

Wtedy ze Stolza mamy:

\sqrt[4]{n^4+1} - \sqrt[4]{(n-1)^4+1}

A to trzeba robić przez sprzężenia.

@edit

Rzeczywiście masz racje, nie może być n=0 , więc wzór jawny jest imho błędny.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Polska
No tak, znowu ten problem z zapisem. Przepraszam, już to poprawiam. Na kartce papieru takich bzdur nie zapisuję, tylko na komputerze.

-- 18 sty 2018, o 22:18 --

Ale jeżeli przyjmiemy, że n może być równe zero, czego na ćwiczeniach nigdy nie robiliśmy (zawsze przyjmowaliśmy że pierwszy wyraz ciągu to a_{1}) to wtedy a_{0}= \frac{1}{0} co nie ma za bardzo sensu jeżeli rozważamy ciągi rzeczywiste ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 sty 2018, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 15372
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie jest jasne jak ten zapis interpretować: jedna może być taka jak powyżej, czyli \sum_{i=0}^n\sqrt[4]{i^4+1}, druga to \sum_{i=0}^{n^4+1}\sqrt[4]{i}

W obu przypadkach Stolz jest dużą armatą:

\sum_{i=0}^{n^4+1}\sqrt[4]{i}>\sum_{i=0}^n\sqrt[4]{i^4+1}>\sum_{i=0}^n i=n(n+1)/2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 05:58 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Richard del Ferro napisał(a):
t.j. istnieje wyraz ciągu ({a_{n}}) taki, że a_{0} .
A o czym informuje to zdanie?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 sty 2018, o 06:33 
Użytkownik

Posty: 15372
Lokalizacja: Bydgoszcz
Richard del Ferro napisał(a):
Wydaje mi się, że trzeba zinterpretować te sumę od drugiej w strony t.j.

S= \sqrt[4]{n^4+1} + \sqrt[4]{(n-1)^4+1} + \sqrt[4]{(n-2)^4+1} + ... + \sqrt[4]{1^4+1} + \sqrt[4]{0^4+1}

Ale mogę się mylić.

Tu się akurat nie mylisz.

Cytuj:
Wtedy ze Stolza mamy:

\sqrt[4]{n^4+1} - \sqrt[4]{(n-1)^4+1}

A tu już tak.

Cytuj:
@edit

Rzeczywiście masz racje, nie może być n=0 , więc wzór jawny jest imho błędny.

A niby dlaczego ów wzór jest błędny? I jakie to ma znaczenie w kontekście liczenia granicy przy n\to\infty ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica ciągu - twierdzenie o trzech ciągach - zadanie 3  adam94  5
 oblicznie granicy ciągu  kasia09121  2
 Oblicz Granicę ciągu (Twierdzenie trzech ciągów)  Shhatter  4
 zbieżność szeregu. proszę o sprawdzenie  Basiek170  8
 obliczanie granicy - zadanie 12  Ktos007  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl