szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 sty 2018, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Mielec
Długie przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć trójkątów. Każdy z trójkątów kolorujemy na szaro, różowo lub czarno. Ile jest różnych pokolorowań, które są różne ze względu na wszystkie izometrie.
Rozwiąż to zadanie korzystając z Lematu Burnside’a.

Dla grupy obrotów zrobiłam, wyszło 11 . Mam jednak problem z grupą symetrii...
Mógłby mnie ktoś naprowadzić?

-- 18 sty 2018, o 22:35 --

Rozwiązałam, zamykam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
Wypisz wszystkie elementy tej grupy za pomocą rozkłady na cykle, potem utwórz indeksy cyklowe.

Twoja grupa działa na zbiorze sześciu elementów, które są sześcioma trójkątami:

t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},t_{5},t_{6}

masz pięć obrotów, sześć symetrii osiowych i jedno stałe.

razem dwanaście.

rozpisz sobie to na cykle będzie ci łatwiej...

Podpowiem, że grupa symetrii ma takie rozbicia cyklowe:

(..)(..)(..) - jest ich trzy

oraz:

(.)(.)(..)(..) - jest ich trzy
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 199
Lokalizacja: Mielec
@arek1357,czy taką treść mam rozumieć w ten sposób że wszystkie kolory mają być wykorzystane, czy można jakiś pominąć?

Założyłam, że muszą być wszystkie trzy i mam 2/2/2 , 1/2/3 i 1/1/4 (myślę że mam na myśli to co Ty miałeś na myśli pisząc te kropki czyli rozkład kolorów).
W każdym razie uwzględniając wszystkie izometrie wyszło mi 15. Czy dobrze?

PS: Wiem że powinnam pisać w notacji cyklowej, ale na razie tak mi łatwiej, przepraszam :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 16:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3391
Lokalizacja: blisko
Kropki to nie rozkład kolorów tylko kształt cyklu

Masz takie permutacje z podziałem na cykle:

tożsamość:

(t_{1}) (t_{2}) (t_{3}) (t_{4}) (t_{5}) (t_{6})

obroty:

(t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}t_{5}t_{6}) - o 60^o

(t_{1}t_{6}t_{5}t_{4}t_{3}t_{2}) - o 300^o

(t_{1}t_{3}t_{5}) (t_{2}t_{4}t_{6}) - o 120^o

(t_{1}t_{5}t_{3}) (t_{2}t_{6}t_{4}) - o 240^o

(t_{1}t_{4})(t_{2}t_{5})(t_{3}t_{6}) - o 180^o

symetrie:

(t_{1}t_{2})(t_{3}) (t_{6})(t_{4}t_{5})

(t_{2}t_{3})(t_{1}) (t_{4})(t_{5}t_{6})

(t_{3}t_{4})(t_{2}) (t_{5})(t_{1}t_{6})


(t_{1})(t_{4})(t_{2}) (t_{6})(t_{3}t_{5})

(t_{2})(t_{5})(t_{1}) (t_{3})(t_{4}t_{6})

(t_{3})(t_{6})(t_{2}) (t_{4})(t_{1}t_{5})


teraz wyznaczasz liczbę orbit:

N(H)= \frac{1}{12} \left( 3^6+2 \cdot 3^1+2 \cdot 3^2+3^3+3 \cdot 3^3+3 \cdot 3^4\right)=92

Jeżeli używasz tylko dwóch kolorów otrzymasz:

N(H)= \frac{1}{12}\left( 2^6+2 \cdot 2^1+2 \cdot 2^2+2^3+3 \cdot 2^3+3 \cdot 2^4\right)=13

Ale dwa kolory możesz wybrać na trzy sposoby, więc masz możliwości:

3 \cdot 13=39

jeden kolor używasz tylko jeden raz , a że są trzy więc będzie trzy możliwości.

Więc teraz jeżeli w zadaniu jest, że musisz użyć zawsze dokładnie trzech kolorów użyjesz zasady włączania i wyłączania
więc napiszesz:

S3=92-39+3=56

W zależności ile cykli w danej permutacji, taki jest wykładnik potęgi, a trójka bo trzy kolory
(Dwójka jak dwa kolory).

Masz wszystkie możliwości użycia trzech kolorów z dokładnością do obrotów i symetrii osiowych...

Jeżeli w zadaniu masz użyć dokładnie trzech kolorów w ten sposób, że wszystkie muszą być użyte musisz odrzucić te przypadki gdzie użyte są tylko dwa lub jeden kolor...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Lemat Burnside'a - koraliki  laser15  2
 Lemat Burnsidea - zadanie 2  be-girl222  2
 Lemat Burnside'a - zadanie 5  zeegy1  0
 Problem z lematem Burnside'a  tangerine11  3
 lemat o pięciu modułach  Yelon  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl