szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 12:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
Wyznaczyć równania stycznych poprowadzonych:
a) z punktu (7,1), do okręgu x^2+y^2=25.

Jak najprościej znaleźć punkt należący do okręgu? Jeżeli go już znajdę to wiem jak wyznaczyć prostą przechodzącą przez dwa punkty (czyli w tym wypadku będzie to styczna do okręgu).

Czy mogę zrobić takie równanie: x * 7 + y * 1 = 25 oraz z równania okręgu x^2 + y^2 = 25 i zrobić z nich układ równań? Mimo tego, że punkt (7,1) nie należy do okręgu??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:05 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Z pęku prostych przechodzących przez punkt: (7;1) wybieramy te, które mają jeden punkt wspólny z okręgiem.

Tutaj pęk prostych ma równanie:y = a(x - 7) + 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
I właśnie tutaj mam największy problem... jak znaleźć współczynnik kierunkowy "a" ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Podstawiaz równanie pęku prostych do równania okregu.Otrzymujesz równanie kwadratowe z parametrem: a i nakładasz warunek, aby miało ono tylko jedno rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:20 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
Wstawiasz równanie prostej do równania okręgu otrzymując równanie kwadratowe z parmetrem a. Wiesz że to równanie ma mieć jedno rozwiązanie (styczność), a więc wyróżnik musi być równy zeru.

EDIT: Belf mnie ubiegł :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:20 
Użytkownik

Posty: 4005
W przypadku, gdy środek okręgu leży w początku układu współrzędnych równanie stycznej do okręgu w punkcie (x_{0}, y_{0} ) ma postać:

x\cdot x_{0} + y\cdot y_{0} = 25, ale warunkiem koniecznym jest, aby punkt (x_{0}, y_{0} ) należał do okręgu.

W Twoim przypadku, napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej rzez punkt (7, 1) (jak napisal Belf).

Rozwiąż układ równań okręgu i prostej, żądając, by wyróżnik równania kwadratowego z parametrem a (\Delta =0) (aby prosta miała z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 13:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 277
Proponuję jeszcze inaczej: szukane styczne będą prostymi przechodzącymi przez punkt (7,1) i odległymi od środka okręgu o 5 (czyli o promień). Proste przechodzące przez punkt (7,1) opisuje równanie ogólne postaci ax-y-7a+1=0. Następnie korzystamy ze wzoru na odległosć punktu od prostej i otrzymujemy równanie \left| 7a-1\right|=5 \sqrt{a^2+1}. I po temacie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 14:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
Czyli mam rozwiązać układ równań:

\begin{cases} y - 1 = m(x - 7) \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}

Wtedy z pierwszego równania wyznaczam y = m (x - 7) + 1.

I podstawiam do równania okręgu: x^2 + (m(x-7)+1) ^ 2 = 25 ???

Wtedy mi jakieś kosmiczne rzeczy wychodzą... np. x^2 m^2... i z niczym się to nie skraca...

Chyba mam jakieś zaćmienie umysłu :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Bo nic się nie ma skracać. Porzadkujesz do postaci równania kwadratowego:y=ax^2+bx+c=0
i nakładasz warunek: \Delta=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2018, o 15:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3239
Lokalizacja: Warszawa
Vince221 napisał(a):
Wtedy mi jakieś kosmiczne rzeczy wychodzą... np. x^2 m^2... i z niczym się to nie skraca...


A to nie rozwiązywałeś nigdy zadań z serii "dla jakiej wartości parametru..."? :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2018, o 09:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 29
Lokalizacja: Warszawa
Pamiętam tylko coś z przecięciem się osi OX, że wtedy za y = 0... A z tym układem serio mam jakiś problem :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2018, o 11:40 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Wszystko powymnażaj i przenieś na lewą stronę.Poredukuj i powyłączaj przed nawiaswyrażenie x^2 orax x, czyli doprowadź równanie do postaci:

Ax^2 + Bx + C =0

Teraz rozwiązujesz równanie:\Delta=B^2-4AC = 0, które ma tylko jedną niewiadomą:a
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz liczbe okregów stycznych do osi X, Y oraz ...  Anonymous  1
 Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ  Anonymous  2
 Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu  _el_doopa  2
 Oblicz współrzedne punktu P przecięcia obu stycznych  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl