szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: rząd grupy
PostNapisane: 20 sty 2018, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Kraków
Potrzebuję udowodnić to stwierdzenie, a nie bardzo wiem od czego zacząć więc proszę o pomoc ;)
Jeśli \left( G, \cdot \right) jest grupą, to \forall a,b\inG : ord\left( a \cdot b\right)=ord\left( b \cdot a\right)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: rząd grupy
PostNapisane: 20 sty 2018, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 12914
Można by się pokusić o uzasadnienie, że dla dowolnych x,y\in G jest
\mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y), a potem wziąć
y=a\cdot b, \ x=a.
A to że \mathrm{ord}(x^{-1}yx)=\mathrm{ord}(y) można udowodnić łatwo korzystając z łączności \cdot
Z tej własności wynika łatwo, że (x^{-1}yx)^n=x^{-1}y^n x dla n\in \NN^+, możesz to udowodnić indukcyjnie.

Pozostaje ewentualnie przypadek, gdy \mathrm{ord}(y) jest nieskończony, ale nie wiem, czy chodziło też o rozważanie takiej możliwości. Wtedy łatwo pokazać przez sprzeczność, że \mathrm{ord}(x^{-1}yx) tez musi być nieskończony.

-- 20 sty 2018, o 15:05 --

Inaczej: dla dowolnego x\in Godwzorowanie
\varphi: G\ni y \rightarrow xyx^{-1} jest automorfizmem (nazywanym automorfizmem wewnętrznym), więc w szczególności zachowuje rzędy. Teraz weźmy x=a^{-1}, \ y=ab.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rząd grupy - zadanie 4  misiekprezes  1
 rząd grupy - zadanie 18  paulina95  3
 Rząd grupy - zadanie 20  Rozbitek  5
 Rząd grupy - zadanie 10  laurix  2
 rząd grupy - zadanie 11  sorcerer123  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl