szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 03:44 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: A kto to wie
Wyznacz dwie ostatnie cyfry w rozwinięciu dziesiętnym liczby 76^{76} .
Próbowałem to robić przez układ kongurencji tzn. znaleźć potęgę, dla której 76^{x} \equiv 1 \bmod 100 i rozpisaniu przy jej pomocy 76^{76} , jednak zauważam, że 76^{x} \equiv 76 \bmod 100 i tu mam problem, bo nie wiem jak to pokazać, że to jest rzeczywiście 76 .
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 04:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Mamy 100=4\cdot 25 i \NWD(4,25)=1 . Oczywiście 76\equiv 0\pmod{4} , stad i 76^{76}\equiv 0\pmod{4} , a ponadto 76\equiv 1\pmod{25} , toteż 76^{76}\equiv 1\pmod{25} .
Zatem dwie ostatnie cyfry liczby 76^{76} muszą tworzyć liczbę podzielną przez 4 (cecha podzielności przez 4 ) i zarazem tak utworzona liczba musi być postaci 25k+1 dla jakiegoś k \in\left\{ 0,1,2,3\right\} . Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że liczby 1,\:26,\:51 odpadają i jedyna możliwość to 76=3\cdot 25+1, więc istotnie
76^{76}\equiv 76\pmod{100} .
Tak naprawdę istotnie łatwo to uogólnić na 76^{n}\equiv 76\pmod{100} dla dowolnego n\in \NN^+ i robi się to tak samo. Może da się ładniej, ale ja jestem głupi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 09:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1283
Lokalizacja: hrubielowo
Można by 76^{n} \equiv 76 \bmod 100 udowodnić indukcyjnie.

\mathbf{1.}\ \ \ 76 \equiv 76 \bmod 100

załóżmy więc że dla pewnego n\in\NN zachodzi 76^{n} \equiv 76 \bmod 100 i sprawdźmy czy dla n+1 też zachodzi.

\mathbf{2.}\ \ \ 76^{n+1} \bmod 100=\left( \left( 76^{n}\bmod 100\right)  \cdot \left( 76\bmod 100\right) \right)\bmod 100= 76^2\bmod 100

co kończy dowód bo 76^2=5776.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz dwie ostatnie cyfry  qmandos  1
 grupe turystow dzielimy na dwie grupy  Anonymous  3
 litery i cyfry i jeszcze raz litery i cyfry  BSD  1
 tworze dwie grupy 3 osobowe  bartek1965  2
 mam np. 3 cyfry i musze policzyć...  żaku  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl