szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Mam do policzenia granicę z następującego ciągu:

a _{n} =   (\sqrt{n^2 + 2n} - n)^{n}

Przekształciłem go do następującej postaci:

a _{n} =\left( \frac{2}{ \sqrt{1+ \frac{2}{n}} +1}\right)^{n}

Nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 22:58 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7839
Lokalizacja: Wrocław
Czy wychodzi symbol nieoznaczony i jeśli tak, to jaki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Dasio11 napisał(a):
Czy wychodzi symbol nieoznaczony i jeśli tak, to jaki?


Wychodzi oczywiście 1^{ \infty } Po wklepaniu w wolframa dostałem, że ta granica wynosi \frac{1}{ \sqrt{e} } ale nie wiem jak do tego dojść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 23:26 
Użytkownik

Posty: 12660
Skoro
a _{n} =\left( \frac{2}{ \sqrt{1+ \frac{2}{n}} +1}\right)^{n}, to
\frac{1}{a_n}=\left( \frac{ \sqrt{1+ \frac{2}{n}} +1}{2}  \right)^n=\left( 1+\frac 1 2\left(  \sqrt{1+\frac 2 n}-1 \right) \right)^n
Zachodzą też nierówności:
\frac{1}{n+1}\le \sqrt{1+\frac 2 n}-1\le \frac 1 n dla n\in\NN^+,
które można udowodnić elementarnie. Stąd nietrudno wywnioskować, że
\left( 1+\frac{1}{2(n+1)}\right)^n \le   \frac{1}{a_n}  \le \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^n
i z twierdzenia o trzech ciągach mamy
\lim_{n \to  \infty }\frac{1}{a_n}=\sqrt{e}, czyli
\lim_{n \to  \infty }a_n=\frac{1}{\sqrt{e}}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl