szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Radom
Witajcie, mam problem z następującą granicą.
\lim_{n \  \rightarrow \infty  } \frac{1}{4^1+1!}+ \frac{1}{4^2+2!}+...+ \frac{1}{4^n+n!}
Czy ktoś z "was" mógłby dać mi jakieś wskazówki/rozpocząć tak abym mógł to dokończyć i zrozumieć jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Nie liczyłbym na to, że powyższą granicę

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n+n!}

da się przedstawić w postaci jawnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 21:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Problem jest równoważny z policzeniem sumy szeregu \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{4^k+k!} co wydaje się być niemałym wyzwaniem ale może chodziło o \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{4^k \cdot k!} co dość drastycznie zmienia postać rzeczy bo \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{4^k \cdot k!}= \sqrt[4]{e}-1. A może chodziło tylko o stwierdzenie istnienia takiej granicy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Radom
Zadanie pochodzi z kolokwium "Studium Talent" (2005 rok) organizowanego na PWr. Jako podpowiedź od prowadzącego (skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 22:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Więc na 90% chodzi jedynie o wykazanie że granica istnieje. Wystarczy udowodnić że ciąg

a_n=\sum_{k=1}^{n } \frac{1}{4^k+k!}

jest rosnący co jest proste jako że

\sum_{k=1}^{ n+1 } \frac{1}{4^k+k!}-\sum_{k=1}^{ n} \frac{1}{4^k+k!}= \frac{1}{4^{n+1}+(n+1)!}>0

i że jest ograniczony

0 \le a_n \le \sum_{k=1}^{ n} \frac{1}{4^k}

Praw strona jest zbieżna do swojej sumy ciągu geometrycznego. Więc ograniczania też udało się znaleźć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Ja też wczoraj próbowałem to cosik "rozwalić". W polecaniu wyraźnie zapisane zostało "oblicz granicę". Być może Panu Docentowi się coś pomyliło. Jednak jest to zadanie na ocenę celująca.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl