szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnić, ze |a| = |a^{-1}| i |ab| = |ba|.

Robię sobie listy do kolosa i natrafiłem na to, męczę się już trochę i nie wiem nawet jak zacząć, pomógłby mi ktoś ruszyć z miejsca? Bo w necie też nie mogłem nic znaleźć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 5654
Lokalizacja: Kraków
(a^n )^{-1} = (a^{-1} )^{n} :idea:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 12:06 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
A to rząd czy moduł?

Szczerze mówiąc nie mam pomysłu jak wykorzystać Twoją podpowiedź, podstawił bym n = 1 i skorzystał z a^{-n} =  \frac{1}{a^n} , tylko, że w ogólnym przykładzie chyba tak nie mogę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 12935
Oczywiście, że rząd, inaczej to nie ma sensu,ponieważ jeśli chodzi o moduł, po pierwsze niekoniecznie byłaby to prawda (rozważ grupę (\RR\setminus\left\{ 0\right\}, \cdot)), a po drugie nawet nie w każdej grupie istnieje jakaś waluacja, która ma taki charakter, jak wartość bezwzględna, więc niekiedy nawet nie byłoby wiadomo, co to niby ma oznaczać.


W pierwszym podpunkcie możesz indukcyjnie udowodnić, że x^n (x^{-1})^n=e, a stąd jeśli x^n=e, to (x^{-1})^n=e. Niech x będzie elementem o skończonym rzędzie. Weźmy teraz najmniejsze n\in \NN^+ o tej własności, że x^n=e (to jest właśnie rząd x). I tak dalej.
No a jeśli x ma nieskończony rząd, to łatwo przez sprzeczność wykazać, że x^{-1} też ma nieskończony rząd.

-- 23 sty 2018, o 15:13 --

To jeszcze może taka mała wskazówka do drugiego podpunktu:
jeśli ab=e, to (ba)^2=baba=b(ab)a=ba i stąd ba=e.
Teraz analogicznie: jeśli
(ab)^n=e, to (ba)^{n+1}=\underbrace{ba \cdot ba \cdot ba}_{n+1}=b(\underbrace{ab\cdot \ldots ab}_{n}) a=b(ab)^na=ba, czyli…
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję Wam obydwu :)
ale ta moja algebra jest w gorszym stanie niż analiza, więc mam jeszcze parę pytań:

1. sprawdzam dla n = 1 x \cdot (x^{-1}) = e, to prawda.

Drugi krok indukcyjny, niech k \in \NN i x^k  \cdot (x^{-1})^k = e

sprawdzam, czy x^{k+1}(x^{-1})^{k+1} = e
x^{k+1}(x^{-1})^{k+1} = x \cdot x^k \cdot (x^{-1})^k \cdot x^{-1} = xex^{-1} = exx^{-1} = e
Więc na mocy aksjomatu indukcji prawdą jest, że:
x^n (x^{-1})^n=e

Cytuj:
Weźmy teraz najmniejsze n\in \NN^+ o tej własności, że x^n=e (to jest właśnie rząd x). I tak dalej.


ale tego akurat nie rozumiem:
1. Dlaczego x^n = e ? (Widzę, że w drugim puncie robisz podobne założenie, czego tu nie widzę?)
2. Dlaczego to jest rząd x?

Trafiłem też na takie rozwiązanie tego zadania:
|<a>| = |<a^{-1}>|

<a^{-1}> = \left\{ a^{-1}: k \in \ZZ\right\}  = \left\{ a^{-k}: k \in \ZZ \right\} = \left\{ a^1 : l \in \ZZ\right\}  = |<a>|

{a^1 : l \in \ZZ} tutaj nie wiem skąd się wzięło l, może ja się pomyliłem przy przepisywaniu. Rozumiem, że to jest generator grupy, skoro korzystamy z jego definicji, ale totalnie nie kumam tego przejścia:
\left\{ a^{-k}: k \in \ZZ\right\}  = \left\{ a^1 : l \in \ZZ\right\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 12935
Indukcja w porządku.
Cytuj:
Ale tego akurat nie rozumiem:
1. Dlaczego x^n = e? (Widzę, że w drugim puncie robisz podobne założenie, czego tu nie widzę?)
2. Dlaczego to jest rząd x?

Skorzystałem z tego, że rząd elementu x w grupie G równy jest najmniejszej liczbie całkowitej dodatniej n, takiej że x^n=e, gdy podgrupa grupy G generowana przez x jest skończona, zaś \infty, gdy wyżej wspomniana podgrupa jest nieskończona.

A tego rozwiązania, które przytoczyłeś, niestety nie rozumiem.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 2 zadania z rzedem grup  Zajec  2
 Udowodnić, że grupa ilorazowa jest izomorficzna z inną  Rozbitek  43
 Udowodnić izomorficznośc pierścieni  Andrew1220  6
 Teoria Galois  Swider  1
 Udowodnić cykliczność grup  Poszukujaca  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl