szukanie zaawansowane
 [ Posty: 25 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 11:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3467
Lokalizacja: blisko
Jaka może być granica czegoś takiego:
(rozpatrzyć wszystkie możliwości).

\lim_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}{n}

gdzie:

\varphi - to bijekcja:

\varphi:N \rightarrow N

(N - Zbiór liczb naturalnych bez zera)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 16:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Kiedyś takie zadanie rozpracowałem. Nie wiem czy nie na forum. Jeśli tak, to bardzo dawno temu. Albo w Konkursie Zadaniowym czasopisma "Matematyka"? Ale mocno mi się przypomina, że to robiłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 18:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3467
Lokalizacja: blisko
To jak znajdziesz wrzuć link albo rozwiązanie, ja też mam kilka pomysłów ale dobrze zobaczyć czyjeś...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 18:48 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Poprosiłem naszą Administrację, a zarazem członka Redakcji "Matematyki" o poszukanie mojego rozwiązania. Coś mi się wydaje, że nawet było tam publikowane. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 19:26 
Administrator

Posty: 23668
Lokalizacja: Wrocław
szw1710 napisał(a):
a zarazem członka Redakcji "Matematyki"

Byłego członka.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pewna pani skarży się sąsiadowi:
- już tyle lat nie uprawiam tego zawodu, a wciąż nazywają mnie starą k...
- droga pani, ja już tyle lat nie pływam, a wciąż mówią do mnie "panie kapitanie"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 19:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
To dialog z filmu "Evita".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ja ten dowcip słyszałem zanimWebber zrobił swój musical. A film jest o 20 lat młodszy. Folklor...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 20:21 
Administrator

Posty: 23668
Lokalizacja: Wrocław
Koniec OT - wracamy do tematu.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 23:00 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7975
Lokalizacja: Wrocław
Nietrudno pokazać, że dla nieskończenie wielu n musi być \varphi(n) \le n i dla nieskończenie wielu n musi być \varphi(n) \ge n. Jeśli więc granica istnieje, to wynosi 1, a przykładem jest funkcja identycznościowa. Łatwo też wskazać przykład, dla którego granica nie istnieje. I to w zasadzie tyle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 14:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Mam jednak dobrą pamięć. To zadanie pochodzi z konkursu zadaniowego "Matematyki". Jest to zadanie 1353 z numeru 3/1995. :) 23 lata temu. Istotnie, jak napisałem Arkowi, moje rozwiązanie opublikowano w numerze 3/1996. Zapiszę je tutaj (w zadaniu z "Matematyki" założono zbieżność, więc i ja ją zakładam, nie rozważam przypadku braku granicy).

Wykażę, że jedyną możliwą granicą jest jedynka.

Uwaga Niech \varphi:\NN\to\NN będzie bijekcją. Nie istnieje n_0\in\NN takie, że \varphi(n)>n dla wszystkich n>n_0.

Inaczej bowiem \varphi(n)\ge n+1 skąd \varphi(n)>n_0+1 dla każdego n>n_0. Jeśli zatem \varphi(n)\le n_0+1, to n\le n_0. Wtedy \varphi^{-1}\bigl\{1,2,\dots,n_0+1\}\subset\{1,2,\dots,n_0\}, co przeczy surjektywności funkcji \varphi.

Przypuśćmy teraz, że \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\varphi(n)}{n}>1. Z definicji granicy istnieje n_0\in\NN takie, że \frac{\varphi(n)}{n}>1 dla każdego n>n_0. Dlatego \varphi(n)>n dla każdego n>n_0, co przeczy powyższej uwadze.

Przypuśćmy teraz, że \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\varphi(n)}{n}<1. Wtedy istnieje n_1\in\NN takie, że \frac{\varphi(n)}{n}<1 dla każdego n>n_1, czyli

\begin{equation}\varphi(n)<n\quad\text{dla }n>n_1.\qquad\qquad\end{equation}

Jest tylko skończenie wiele liczb naturalnych n, dla których \varphi^{-1}(n)\le n_1. Dlatego dla pewnego n_0\in\NN mamy \varphi^{-1}(n)>n_1 dla każdego n>n_0. Jednak zgodnie z (1) mamy \varphi\bigl(\varphi^{-1}(n)\bigr)<\varphi^{-1}(n), czyli \varphi^{-1}(n)>n dla każdego n>n_0. Przeczy to jednak naszej uwadze zastosowanej do bijekcji \varphi^{-1}.

Dlatego jedyną możliwą granicą jest jedynka, co ma np. miejsce dla bijekcji identycznościowej.

Mam nadzieję, że dobrze przepisałem. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 16:29 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7975
Lokalizacja: Wrocław
szw1710 napisał(a):
Wtedy \varphi^{-1}\bigl\{1,2,\dots,n_0+1\}\subset\{1,2,\dots,n_0\}, co przeczy różnowartościowości funkcji \varphi.
To przeczy surjektywności \varphi, a nie różnowartościowości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 19:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18497
Lokalizacja: Cieszyn
Tak - masz rację. Przepisywałem szybko więc się nie zastanawiałem, ale czemu redakcja "Matematyki" to przepuściła bez refleksji? :) Ale nieważne - sprzeczność mamy i tak.

Poprawię w zasadniczym tekście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 10:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3467
Lokalizacja: blisko
A czy ktoś zna ładny wzorek na taką bijekcję naturalnych?

Nie mówię tu o sztucznych wydumkach lub identyczności tylko czemuś ładnemu...co oko pocieszy...

Swoją drogą zadanko dość ciekawe , a o bijekcjach liczb naturalnych w samych siebie mało się mówi.
Osobiście zawsze wolałem zbiory skończone ale za to nieskończoność zawiera więcej niespodzianek...
np brak cyklu typu:

(a,b,c,...)

itd...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 10:45 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Na jaką?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 25 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć granice  Deiwos  2
 obliczyc granice - zadanie 7  casusrad  2
 Obliczyć granicę - zadanie 9  adek  1
 Obliczyć granice - zadanie 15  osada  1
 obliczyc granice - zadanie 18  macieklysy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl