szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 17:54 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Ktoś wie jakby to można udowodnić, albo przynajmniej zacząć?

Istnienie maksymalnego dzielnika normalnego (ew. maksymalnej podgrupy) w grupie wśród dzielników normalnych (ew. podgrup) o tej własności, że a nie należy do niego, gdzie a jest ustalonym elementem grupy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 20:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
Czym jest dzielnik normalny? Jak rozumiem zakładasz, że a nie jest elementem neutralnym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Dzielnik normalny(podgrupa normalna)
H podgrupa grupy (G,*)
H-dzielnik normalny, gdy aH=Ha, dla każdego a należącego do G.
~~
a to element z G który nie należy do H_0, gdzie H_0 dzielnik maksymalny grupy G,
a nie może być elementem neutralnym, bo każdy dzielnik normalny zawiera go
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 20:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
to skorzystaj z lematu Kuratowskiego - Zorna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
To wiem :) tylko nie wiem jak zacząć by dojść żeby do tego i to wykorzystać :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2018, o 21:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
rozważ rodzinę dzielników normalnych niezawierających a. Stwierdź,że jest niepusta, bo podgrupa trywialna tam należy i pokaż, że spełnione są założenia Lematu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Niech G będzie grupą.
Ustalamy element a \in G taki, że a nie jest elementem neutralnum.
Niech H_0 będzie dzielnikiem normalnym grupy G takim, że a \notin H_0.
Niech \subset tworzy nam liniowy porządek.
\chi:= \{ H \subset G : H \triangleleft G, a \notin H \}
W (\chi, \subset ) ustalamy łańcuch L.
Niech H^{*}:=  \bigcup  L, stąd \forall_{H \in L}: H \subset H^{*}

Wystarczy pokazać, że H^{*} \in \chi
( \forall_{C \in L}: a \notin C) \Rightarrow (a \notin \bigcup L =H^{*}) \Rightarrow (a \notin H^{*})

1).
\exists_{H_1,H_2 \in L}: h \in H_1, h \in H_2
Przyjmijmy H_1 \subset  H_2.
Jeżeli \forall_{x \in G}  \forall_{h \in H_1}: xhx^{-1} \in H_1, to xhx^{-1} \in H_2.
Zatem xhx^{-1} \in H^{*}.

2).
Niech y \in H^{*} i niech z \in G.
Zatem \exists_{H_3 \in L}: y \in H_3.
H_3 \triangleleft G więc zyz^{-1} \in G \Rightarrow zyz^{-1} \in H^{*}
Stąd H^{*} \triangleleft G.

Z tego iż a \notin H^{*}, to H^{*} nie jest równe G.
Dodatkowo z 1) i 2) na mocy lematu Kuratowskiego - Zorna H^{*} jest elementem maksymalnym w \chi.
~~
Dobrze rozumuję?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 18:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2859
Lokalizacja: Radom
Dobrze, ale uzadadnienie, że H^{*} jest normalna jest koślawe, a wręcz ocierające się o fałsz.

Cytuj:
Niech H_0 będzie dzielnikiem normalnym grupy G takim, że a \notin H_0.


Tutaj zaznaczę, że taka H_0 istnieje, bo a jest niezerowy. Istnienie tej grupy jest konieczne (zbiór \chi musi być niepusty)

Co do uzasadnienia normalności.
CHcesz pokazać, że dla dowolnego g \in G zachodzi gH^{*} g^{-1} \subset H^{*}.
Bierzemy dowolne h \in H^{*}. Z definicji istnieje H \subset L taka, że h \in H \subset H^{*} i H jest normalna. Zatem g h g^{-1} \in H \subset H^{*}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Istnienie epimorfizmu z A9 na Z20  relic  1
 fakt odnośnie indeksu i dzielnika normalnego  leszczu450  5
 Istnienie grupy  Bart7  13
 istnienie elementu rzędu 15  Amino2009  5
 Istnienie działania tranzytywnego  pancernik993  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl