szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: Białystok
Zbadać zbieżność ciągu
\begin{cases} x _{0} = 0 \\ x _{n+1} = 2x _{n} ^{-2}   \end{cases}
Wydaje mi się że będzie rozbieżny, nie wiem jednak jak to pokazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 12660
Przecież to zadanie nawet nie ma sensu. Ile byłoby równe x_1 :?:
Sprawdź, czy dobrze przepisałaś.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: Białystok
Źle przepisałam... x_{0} = 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:45 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
Policz parę pierwszych wyrazów, to zobaczysz. Spójrz na podciągi o wyrazach parzystych i nieparzystych
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: Białystok
Zauważyłam, że ciąg będzie rozbieżny, jednak nie wiem jak to zapisać. Samo napisanie\lim_{ n\to  \infty } a_{2n+1} = 0,  \lim_{ n\to  \infty } a_{2n} =  \infty chyba nie wystarczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 12660
Wskazałaś podciąg tego ciągu zbieżny do zera i podciąg rozbieżny do +\infty. Uzasadnij teraz tylko, że zachodzą takie własności, jak napisałaś.
Wskazówka:
x_{n+2}=2x_{n+1}^{-2}=2\left( 2x_n^{-2}\right)^{-2}= \frac12 x_n^4.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 23:14 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: Białystok
Przy x _{2n}  = 2x _{2n-1} ^{-2} = 2(2x _{2n-2} ^{-2}) ^{-2} = ...
Niestety dalej nie mogę zauważyć jak będzie wyglądał wzór zależny od x_{n}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 12660
Trzeba było sobie rozpisać więcej wyrazów.
x_0=2=2^1\\ x_2=\frac{1}{2}\cdot x_0^4=8=2^3\\ x_4=\frac{1}{2}\cdot x_2^4=2^{11}\\x_6=\frac{1}{2}\cdot x_4^4=2^{43}\\x_8=2^{171}
itd.
Generalnie wykładniki dwójki przy a_{2n} spełniają rekurencję
b_{n+1}=4b_n-1, przy czym b_0=1.
Zatem dla n>2 można zapisać
b_n=(b_n-b_{n-1})+(b_{n-1}-b_{n-2})+\ldots+(b_1-b_0)+b_0=\\=1+(b_1-b_0)+4(b_1-b_0)+\ldots+4^{n-1}(b_1-b_0)=\\=1+2\left( 1+\ldots+4^{n-1}\right) =1+\frac{2}{3}(4^n-1),
czyli
a_{2n}=2^{1+\frac{2}{3}(4^n-1)}.

Dlaczego jednak uważasz, że jest to potrzebne, by stwierdzić, że
\lim_{n \to  \infty } a_{2n}=\infty :?:
Wystarczyłoby jakieś naiwne szacowanie typu a_{2n+2}\ge 4 a_{2n} i jego dowód, np. indukcyjny w oparciu o wspomnianą przeze mnie zależność x_{n+2}=\frac{1}{2}x_n^4.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbieżnośc ciągu rekurencyjnego  mrowcia  4
 zbieżność ciągu rekurencyjnego  robin5hood  4
 zbieżność ciągu rekurencyjnego - zadanie 2  little weirdo  11
 Zbieżność ciągu rekurencyjnego - zadanie 3  signa5  1
 zbieżność ciągu rekurencyjnego - zadanie 4  PoPierwsze  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl