Granica z nieskończonej sumy

Witam, mam do policzenia następującą granicę


Na oko wydaje mi się, że granicą tego wyrażenia jest 1. Potrafię ograniczyć to z góry tak aby ciąg ograniczający dążył do 1. Niestety, ale nie potrafię ograniczyć tego ciągu od dołu tak aby dążył on do 1. Proszę o pomoc

PS: wzory na sumę czwartych potęg kolejnych liczb naturalnych mnie nie urządzają!

Dwa pomysły:
1. Pokaż, że mianownik dąży do (proste), po czym zastosuj twierdzenie Stolza. Powinno łatwo wyjść.

2. Użyj rachunku całkowego.
Mamy

i podobną rzecz można rozpisać w mianowniku.
Następnie korzystamy z tego, że (mamy tu wszak pewną sumę całkową)


Myślę jednak, że sposób nr 2 to lekka przesada.

-- 25 sty 2018, o 00:48 --

Chociaż może troszkę przesadziłem i z tym twierdzeniem Stolza:

i zauważmy, że dla w mianowniku jest nie mniej niż liczb nie mniejszych niż
, zatem

czyli
,
zaś szacowanie z góry jest dość oczywiste. No i twierdzenie o trzech ciągach.
Natomiast ogólnie twierdzenie Stolza dobrze znać, często się przydaje, gdy mamy jakąś granicę ilorazu sum.

A czemu by nie zabrać ostatniego wyrazu z mianownika i sobie na sztywno tych złych szeregów nie skrócić?

Możesz przybliżyć tę myśl?

ma tę samą granicę co więc bez ingerencji w zbieżność możemy zrobić sobie z tego szeregu, taki szereg:

No nie za bardzo:
Przypuśćmy, że

Wtedy

Jeżeli chcesz to możesz spróbować indukcyjnie udowodnić, że



Łatwo zapamiętać ten, wzór, zauważ, że




Należy, więc jedynie domnożyć przez wielomian

i podzielić przez wzór na sumę kwadratów

Z tego to już bezpośrednio wyliczysz granicę

Ah przepraszam, nie zauważyłem, że autor postu nie chce korzystać z przepięknych wzorów

-- 25 sty 2018, o 13:41 --

Ale wystarczy bezpośrednio u góry dodać i odjąć