szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 00:15 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: Koziodoły
Witam, mam do policzenia następującą granicę
\lim_{ n\to \infty}\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}

Na oko wydaje mi się, że granicą tego wyrażenia jest 1. Potrafię ograniczyć to z góry tak aby ciąg ograniczający dążył do 1. Niestety, ale nie potrafię ograniczyć tego ciągu od dołu tak aby dążył on do 1. Proszę o pomoc :)

PS: wzory na sumę czwartych potęg kolejnych liczb naturalnych mnie nie urządzają!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 00:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
Dwa pomysły:
1. Pokaż, że mianownik dąży do +\infty (proste), po czym zastosuj twierdzenie Stolza. Powinno łatwo wyjść.

2. Użyj rachunku całkowego.
Mamy
1^4+2^4+\ldots+n^4=n^5\cdot\left(  \frac{1^4}{n^5}+\frac{2^4}{n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5} \right) =n^5 \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^4
i podobną rzecz można rozpisać w mianowniku.
Następnie korzystamy z tego, że (mamy tu wszak pewną sumę całkową)
\lim_{n \to  \infty }  \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^4= \int_{0}^{1}x^{4}\,\dd x=\frac{1}{5}

Myślę jednak, że sposób nr 2 to lekka przesada.

-- 25 sty 2018, o 00:48 --

Chociaż może troszkę przesadziłem i z tym twierdzeniem Stolza:
\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}=1- \frac{(n+1)^4}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}
i zauważmy, że dla n>2 w mianowniku jest nie mniej niż \frac{n}{2} liczb nie mniejszych niż
\left( \frac{n}{2}\right)^4=\frac{n^4}{16}, zatem
\frac{(n+1)^4}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}  \le  \frac{(n+1)^4}{\frac{n}{2}\cdot \frac{n^4}{16} }
czyli
\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}} \ge 1- \frac{32(n+1)^4}{n^5},
zaś szacowanie z góry jest dość oczywiste. No i twierdzenie o trzech ciągach.
Natomiast ogólnie twierdzenie Stolza dobrze znać, często się przydaje, gdy mamy jakąś granicę ilorazu sum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
A czemu by nie zabrać ostatniego wyrazu z mianownika i sobie na sztywno tych złych szeregów nie skrócić?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 sty 2018, o 11:30 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozbitek napisał(a):
A czemu by nie zabrać ostatniego wyrazu z mianownika i sobie na sztywno tych złych szeregów nie skrócić?


Możesz przybliżyć tę myśl?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4} ma tę samą granicę co 1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4} -
 (n+1)^4 więc bez ingerencji w zbieżność możemy zrobić sobie z tego szeregu, taki szereg: 1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 25 sty 2018, o 12:02 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
No nie za bardzo:
Przypuśćmy, że a_1=1, a_{n+1}=a_1+\dots+a_{n}

Wtedy \frac{a_1+\dots+a_n+a_{n+1}}{a_1+\dots+a_n}=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2018, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 181
Jeżeli chcesz to możesz spróbować indukcyjnie udowodnić, że

1^4+2^4+....+n^4= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

Łatwo zapamiętać ten, wzór, zauważ, że


1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Należy, więc jedynie domnożyć przez wielomian

3n^2+3n-1 i podzielić przez 5 wzór na sumę kwadratów

Z tego to już bezpośrednio wyliczysz granicę :)

Ah przepraszam, nie zauważyłem, że autor postu nie chce korzystać z przepięknych wzorów :(

-- 25 sty 2018, o 13:41 --

Ale wystarczy bezpośrednio u góry dodać i odjąć (n+1)^4

\\lim_{ n\to \infty}\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}

\lim_{ n\to \infty}1- \frac{(n+1)^4}{{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl