Dwa pomysły:
1. Pokaż, że mianownik dąży do

(proste), po czym zastosuj twierdzenie Stolza. Powinno łatwo wyjść.
2. Użyj rachunku całkowego.
Mamy

i podobną rzecz można rozpisać w mianowniku.
Następnie korzystamy z tego, że (mamy tu wszak pewną sumę całkową)

Myślę jednak, że sposób nr 2 to lekka przesada.
-- 25 sty 2018, o 00:48 --
Chociaż może troszkę przesadziłem i z tym twierdzeniem Stolza:

i zauważmy, że dla

w mianowniku jest nie mniej niż

liczb nie mniejszych niż

, zatem

czyli

,
zaś szacowanie z góry jest dość oczywiste. No i twierdzenie o trzech ciągach.
Natomiast ogólnie twierdzenie Stolza dobrze znać, często się przydaje, gdy mamy jakąś granicę ilorazu sum.