szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
Cześć,
natrafiłem na taką granicę \lim_{ n\to \infty  }\left(  \frac{n+1}{ n^{2} } \right)^{\sin \frac{1}{n} }.
Próbowałem to rozgryźć ale bez de l'Hospitala tego nie widzę. Nasuwa się komuś jakaś myśl albo rozwiązanie?
W ogóle, można stosować de l'Hospitala do ciągów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 777
Lokalizacja: Polska
Zrób z tego e^{\ln f(n)}


----Edycja----

Premislav to w sumie ładne rozpracował przez szacowanie. Ja jak zwykle do motyla z bazuki, acz skutecznie (tylko więcej zabawy)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2018, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 12660
Nie można stosować de l'Hospitala dla ciągów, ale można dla funkcji, a potem należałoby skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji, żeby tym samym policzyć też i granicę ciągu.
Poniżej rozwiązanie bez de l'Hospitala, jak i bez korzystania z ciągłości pewnych funkcji.
Mamy \sin x\le x dla x\in\left[ 0,+\infty).
A zatem \sin\left( \frac 1 n\right) \le \frac{1}{n} dla n\in \NN^+ i ponieważ
\frac{n+1}{n^2} \in (0,1) dla n=2,3\ldots, zatem otrzymujemy, że
\left( \frac{n+1}{ n^{2} } \right)^{\sin \frac{1}{n} } \ge \left( \frac{n+1}{ n^{2} } \right)^{\frac{1}{n} } \ge \left( \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} dla n=2,3,\ldots
a oczywiście
\lim_{n \to  \infty } \left( \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=1.
Z drugiej strony to łatwo oszacować, np. dla n=2,3\ldots zachodzi
1>  \frac{n+1}{n^2}, stąd także, z uwagi na \sin \frac{1}{n}>0, dostajemy
1>\left(  \frac{n+1}{n^2} \right)^{\sin \frac 1 n}
i z tw. o trzech ciągach granica jest równa 1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Udowodnij, że ciąg jest nieograniczony z dołu  deny  1
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl