szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Polska
Sprawdź dla (\RR\setminus\{-1\},*) gdy x*y=x+y+xy czy jest grupą

Nie wiem czy w ogóle dobrze rozumie co to jest działanie wewnętrzne.
\wedge x,y \in \RR \setminus \left\{ {-1}\right\}   x*y=x+y+xy

Dla każdych x,y należących do \RR z wyjątkiem \{-1\} równanie x*y ma być spełnione tak?

No i gdy liczę inwers wychodzi mi, że jest równy \frac{-x}{1+x}. Już więcej nic nie robię?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 03:22 
Użytkownik

Posty: 12935
„Inwers" to nie jest słowo w języku polskim, x*y samo w sobie nie jest równaniem, zaś aksjomatów grupy jest trochę więcej.

Masz sprawdzić łączność (podpowiedź: zachodzi), istnienie elementu neutralnego (jest nim zero) i to, że dla każdego x\in\RR\setminus\left\{ -1\right\} znajdziemy element odwrotny do x, tj. takie y\in \RR\setminus\left\{ -1\right\}, że x+y+xy=0. Istotnie y=\frac{-x}{1+x} działa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 03:41 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Polska
Potrafię sprawdzić łączność i istnienie elementu neutralnego, ale ciągle mam problem z tym znalezieniem elementu odwrotnego. Nie rozumiem tego, że x+y+xy=0 równa się zero. Nie wiem kompletnie z czego się to bierze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 03:56 
Użytkownik

Posty: 12935
To jest kwestia znajomości definicji grupy.

Strukturę (G, *), gdzie G jest zbiorem, zaś *: G\times G \rightarrow G funkcją (w szczególności wymagamy, jak widać, by dla dowolnych g, h \in G było g*h \in G)
nazywamy grupą, gdy spełnione są wszystkie trzy poniższe warunki:
1) istnieje element neutralny działania * w G, tj. taki e \ \in G, że dla dowolnego g\in G zachodzi g*e=e*g=g
2) łączność *: chodzi o to, by dla dowolnych g_1, \ g_2, \ g_3 \in G zachodziło
(g_1*g_2)*g_3=g_1*(g_2*g_3)
3) istnienie elementu odwrotnego dla każdego elementu g \in G, tj. chcemy aby dla każdego g\in G istniał taki h\in G, iż g*h=h*g=e.

Tutaj łatwo się przekonać, że elementem neutralnym jest 0.
Teraz ustalmy dowolny x \in \RR \setminus\left\{ -1\right\}. Chcesz znaleźć taki y\in \RR\setminus\left\{ -1\right\}, by x+y+xy=0. Rozwiązujesz to jak równanie z niewiadomą y, tak jak to zrobiłeś. Trzeba jeszcze uzasadnić, że dla każdego x\in \RR\setminus\left\{ -1\right\} mamy -\frac{x}{1+x}\neq -1, ale to proste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 04:21 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Polska
No dobrze. Tylko jeszcze w rozwiązaniu na początku mam zapisane coś takiego:

Przypuśćmy, że x*y=0 zatem
x+y+xy=-1
x(1+y)=-1-y
x= \frac{-1-y}{1+y}
x=-1

Czemu zapisuje się x+y+xy=-1 skoro x*y=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 04:50 
Użytkownik

Posty: 12935
Sprawdzono jeszcze, czy działanie tak określone jest wewnętrzne, tj. czy dla dowolnych x,y \in \RR\setminus\left\{ -1\right\} zachodzi x*y\in \RR\setminus\left\{ -1\right\}, tj. czy
x+y+xy\in \RR\setminus\left\{ -1\right\}. Niedobrze że o tym zapomniałem, przyjmując to za pewnik, to przez nalewkę z malin.
Oczywiście dla x,y \in \RR wynik działania x+y+xy zawsze ma sens i jest liczbą rzeczywistą, trzeba więc tylko sprawdzić, czy x+y+xy\neq -1, gdy x,y\neq -1.
No i tutaj pokazano, że jeśli x+y+xy=-1, to x=-1 lub y=-1. A zatem gdy x,y\neq -1, to także x+y+xy\neq -1.

A to zdanie „przypuśćmy, że x*y=0" do niczego tu nie pasuje (chyba się z czymś pomieszało), wykreśl je i będzie OK. Być może prowadzący się rozkojarzył, wspominając upojną noc ze znanym przewodniczącym Polskiej Rady LGBT, Ianusem Corvinusem von Mückke.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 05:09 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Polska
Dobra wreszcie to zakapowałem dzięki. Okazuje się to nie takie trudne, tylko trzeba włączyć myślenie, a nie się frustrować i oczekiwać, że samo się zrozumie po przeczytaniu.

PS. Ale mi smaka narobiłeś na nalewkę z malin.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grupa izometrii bryły  arek1357  7
 Czy zbiór jest grupą abelową  kylercopeland  1
 Określić działanie aby było ciało  pelas_91  1
 grupa, dzielnik normalny i podgrupa  21mat  0
 grupa cykliczna - zadanie 12  majkel2805  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl