szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 15:56 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Jak pokazać czy wielomian jest rozkladalny czy też nie.? Nie wiem z czego korzystać, kryterium Einsteina chyba odpada gdyż wszystkie współczynniki są równe 1 . Czy możecie mi pokazać na przykładzie x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1lub na jakimś innym analogicznym ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 16:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2864
Lokalizacja: Radom
Rozkładalny nad jakim pierścieniem?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Nad Q
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 12935
Powiedzmy, że nad \QQ, bo już nad \RR to nieprawda.


Można tu skorzystać z kryterium Eisensteina, choć nie od razu, tylko trzeba być sprytnym lub mieć doświadczenie (ja nie jestem sprytny, ale widziałem kiedyś rozwiązanie podobnego problemu, kapkę ogólniejszego). Gdyby było
x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=P(x)\cdot Q(x) dla pewnych wielomianów P(x), Q(x) stopnia większego niż zero o współczynnikach wymiernych, to kładąc x:=x+1 mamy
(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1)+1=P(x+1)\cdot Q(x+1).
Ale wielomian
(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1)+1=x^4+{5 \choose 4}x^3+{5\choose 3}x^2+{5 \choose 2}x +5 jest nierozkładalny w \QQ[X] na mocy kryterium Eisensteina (5 dzieli każdy współczynnik oprócz tego przy najwyższej potędze i 5^2=25 nie dzieli wyrazu wolnego), sprzeczność.
Zatem x^4+x^3+x^2+x+1 jest nierozkładalny w \QQ[X].
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 17:15 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
A gdybyśmy zaczęli już od wyższej potęgi, w sensie dodali jeszcze do tego przykładu x^5 to już wyszedł by wielomian rozkładalny, dobrze myślę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 17:18 
Użytkownik

Posty: 12935
Zgadza się. Mamy bowiem
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^3+1)

Ogólniej, wielomian W(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1, gdzie p to liczba pierwsza, jest nierozkładalny nad \QQ i pokazuje się to w zasadzie tak samo, jak powyżej (kładąc x:=x+1 i z Eisensteina), tylko trzeba trochę dłużej się zastanowić nad współczynnikami.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2018, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Ok, juz rozumiem. Dziękuję bardzo za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozkladalnosc wielomianów  berni29  9
 Reszta z dzielenia wielomianow - zadanie 12  pacia1620  1
 Cialo Z7 , dzielenie wielomianów  spirit_wizard  1
 Dzielenie wielomianów w pierścieniu - zadanie 2  habibi  1
 NWD wielomianów  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl