szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 sty 2018, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{ n \to \infty } \sin \left( \frac{n \pi}{6} \right) \cdot \sin \left( \frac{1}{n} \right) \cdot n

Mam pytanie czy tak mi wolno: \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac{1}{n} \right) \cdot n to przecież jeden.
Czy taka granica : \lim_{ n \to \infty } \sin \left( \frac{n \pi}{6} \right) \cdot 1 byłaby równoważna tej na samej górze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2018, o 20:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Nie wolno Ci przechodzić z częścią n do nieskończoności. Trzeba się powołać na jakieś twierdzenia o arytmetyce granic. Najwygodniej w tym przykładzie pokazać nieistnienie granicy od razu tak jak jest dana na przykład wybierając podciągi n_k=6k i n_k=6k+1
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 sty 2018, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Warszawa
Ale nie wolno mi dlatego że nie zapisałem tego w ten sposób?\lim_{n \to \infty }  \frac{ \sin \left( \frac{1}{n} \right)}{ \frac{1}{n}} Czy dlatego że nie wiem czy ta druga granica jest właściwa? W zasadzie nie wiem co to znaczy że przeszedłem z częścią n do nieskończoności :( . Wyjaśniłbyś prościej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2018, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 4014
Z twierdzenia o arytmetycznej własności granicy wynika, że jeśli istnieją granice \lim_{n\to \infty}a_{n}, \ \ \lim_{n\to \infty} b_{n} i określony jest ich iloczyn, to istnieje granica \lim_{n\to \infty}(a_{n}\cdot b_{n}) i zachodzi wzór:

\lim_{n\to \infty}(a_{n}\cdot b_{n}) =\lim_{n\to \infty}a_{n}\cdot \lim_{n\to \infty} b_{n} (1)

Sprawdź, czy istniej granica \lim_{n\to \infty} a_{n}= \lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac{n\pi}{6}\right).

Załóżmy, że ciąg (a_{n}) jest zbieżny do granicy g wtedy każdy podciąg tego ciągu jest zbieżny do g.


Zatem ciąg (a_{6n}) \rightarrow g i na przykład ciąg (a_{6n+3})\rightarrow g.


Sprawdź czy te ciągi są zbieżne do wspólnej granicy?

Odpowiedź: nie są, czyli nie istnieje granica Twojego ciągu i nie wolno stosować Ci równości (1), mimo że istnieje granica ciągu (b_{n}) = \left( \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2018, o 20:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Ale nie wolno mi dlatego że nie zapisałem tego w ten sposób?\lim_{n \to \infty }  \frac{ \sin \left( \frac{1}{n} \right)}{ \frac{1}{n}} Czy dlatego że nie wiem czy ta druga granica jest właściwa?

To drugie. A konkretniej nie wiesz nic o granicy \lim_{ n \to \infty } \sin \left( \frac{n \pi}{6} \right). A przynajmniej nic nie napisałeś.
Cytuj:
co to znaczy że przeszedłem z częścią n do nieskończoności

No to jest intuicyjne. Dosłownie liczysz granice i gubisz kolejne n nic nie robiąc z innymi.
Dla przykładu

\lim_{n \to  \infty }n \cdot  \frac{1}{n}= \lim_{n \to  \infty } n \cdot 0=0

Oczywista bzdura! Błąd jest skutkiem przejścia z częścią n do nieskończoności a z częścią nie.
Ogólniej jeśli mamy \lim_{n \to  \infty }a_n nie istnieje i \lim_{n \to  \infty }b_n=b to trzeba być ostrożnym w wyciąganiu wniosków odnoście \lim_{n \to  \infty }a_nb_n i nie można od razu powiedzieć że skoro \lim_{n \to  \infty }a_n to \lim_{n \to  \infty }a_nb_n też nie istnieje. Bo na przykład

\lim_{n \to  \infty }\sin n nie istnieje \lim_{n \to  \infty } \frac{1}{n} =0 no i \lim_{n \to  \infty } \frac{\sin n}{n}=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2018, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 51
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki wszystko jasne
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl