szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 sty 2018, o 16:07 
Użytkownik

Posty: 81
Dany jest szereg potęgowy o środku w 0 i promieniu zbieżnościR>0 .
W jakim zbiorze szereg ten jest na pewno zbieżny jednostajnie ?

Czy chodzi tutaj o kryterium Weierstrassa?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sty 2018, o 18:44 
Gość Specjalny

Posty: 5746
Lokalizacja: Toruń
Jest zbieżny jednostajnie na każdym zwartym odcinku zawartym w kole (-R, R). Wynika to faktycznie z kryterium Weierstrassa.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 81
Jak to dokładnie matematycznie zapisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 11:35 
Gość Specjalny

Posty: 5746
Lokalizacja: Toruń
Rozpatrzmy szereg
\sum a_n x^n
o promieniu zbieżności R > 0, tzn. R = 1 / \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 0.

Czyli szereg jest bezwzględnie zbieżny w zbiorze (-R, R). Ustalmy odcinek zwarty [a,b] \subset (-R, R). Wówczas, jeśli x \in [a,b], to |x| \leq M , gdzie M = \max \{ |a|, |b| \}. Z zawierania [a,b] \subset (-R, R) wynika, że M < R. Zatem
|a_n x^n| \leq |a_n M^n| = |a_n| M^n.
Ponadto szereg
\sum |a_n| M^n
jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego, gdyż
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n| M^n} = \frac{M}{R} < 1.
Czyli z kryterium Weierstrassa szereg
\sum a_n x^n
jest zbieżny jednostajnie na [a,b].
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 81
bartek118 Bardzo dziękuję za tak przejrzyste wytłumaczenie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbieznosc jednostajna szeregu - zadanie 10  tomusik123  0
 Zbieznosc jednostajna szeregu - zadanie 14  leg14  11
 Zbieżność jednostajna szeregu - zadanie 6  RAFAELLO14  11
 zbieżność jednostajna szeregu - zadanie 2  K4rol  13
 Zbieżność jednostajna szeregu - zadanie 9  czerwien  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl