szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 02:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
Czy da się, a jeśli tak, to w jaki sposób, podzielić zbiór A taki, że |A|=\mathcal{C} na dwa podzbiory takie że |A_1|=|A_2|=\mathcal{C} oraz A_1 \cup A_2 = A oraz A_1 \cap A_1 = \emptyset .
Wymyśliłem sobie takie zadanie, ale wydaje mi się, że coś takiego jest możliwe. Bo np. mam odcinek, który mogę podzielić na dwa o mocy continuum. Więc są zbiory, które to spełniają. Pytanie czy dla każdego zbioru mocy continuum tak będzie. Nie mogę wymyślić jakiejś ładnej bijekcji, która by mi pomogła to rozwiązać.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 02:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
Chyba miało być A_1 \cap A_2=\emptyset.


Można np. podzielić zbiór liczb rzeczywistych na takie dwa zbiory (powiedzmy liczb rzeczywistych ujemnych i liczb rzeczywistych nieujemnych, oznaczmy go jako \RR^+), wziąć ustaloną bijekcję f między \RR a naszym zbiorem A mocy continuum i popatrzeć na zbiory f[\RR^+] oraz f[\RR\setminus \RR^+] (obrazy), powinny one spełniać warunki. Ale nie wiem, na ile to jest konkretne (raczej nie bardzo).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 14:24 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
Premislav, a jak konkretniej byś chciał, skoro zbiór A jest dowolny?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2018, o 14:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12447
Lokalizacja: Państwo Polin
W sumie racja, chyba już za bardzo nie kontaktowałem, muszę przestać pisać o takiej porze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 01:24 
Użytkownik

Posty: 372
Lokalizacja: Rzeszów
Mathix napisał(a):
Czy da się, a jeśli tak, to w jaki sposób, podzielić zbiór A taki, że |A|=\mathcal{C} na dwa podzbiory takie że |A_1|=|A_2|=\mathcal{C} oraz A_1 \cup A_2 = A oraz A_1 \cap A_1 = \emptyset .
A więc jesteśmy na tropie zadania:

Czy każdy zbiór nieskończony można podzielić na dwa równoliczne podzbiory :?:

To intuicyjne twierdzenie, jednak idea dowodu jest inna, niż wejść do środka zbioru nieskończonego i 'rozszarpać' go na dwie równe części (bo co jest środkiem dowolnego zbioru nieskończonego :?: . Idea dowodu polega na tym, aby zbiór nieskończony X dobrze uporządkować ( zastosować twierdzenie Zermelo). A następnie określić funkcję przez indukcję pozaskończoną przypisującą na przemian 0,1,0,1,\ldots na 'kolejnych' elementach X. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną pozwala zdefiniować funkcję określoną na całym zbiorze dobrze uporządkowanym X. Udowodniono to na ważniaku... :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 02:23 
Użytkownik

Posty: 15102
Lokalizacja: Bydgoszcz
Myślę, że aż tyle nie trzeba. Skoro wiemy, że dla zbiorów nieskończonych |A|=2|A|, to wystarczy zrobić bijekcję f:A\to A\times \{1,2\} i wziąć A_i=f^{-1}(A\times\{i\})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 372
Lokalizacja: Rzeszów
Czyli \stackrel{ \rightarrow }{f^{-1}} \left( A \times\left\{  1\right\}\right) oraz \stackrel{ \rightarrow }{f^{-1}} \left( A \times\left\{  2\right\}\right) :?:

a4karo, muszę powiedzieć, że jesteś pomysłowy. :lol: Spróbuję, to zadanie, zrobić w tym kierunku.
A jak się uda, to później będziemy dzielić zbiór nieskończony na n zbiorów równolicznych, a potem na dowolną ilość nieskończoną. :lol: O zadaniu ( w tej pierwszej formie- podział na dwa zbiory równoliczne) słyszałem od lat, i cały czas nie widziałem ( poza zbiorami przeliczalnymi, i kilkoma konkretnymi ) prostszej metody, niż ciężki pomysł z ważniaka. W pierwszych dniach stycznia tego roku, uogólniłem ten pomysł na podział na n zbiorów równolicznych. Dowód, zajmuję 4 strony A4, i jest analogicznym uogólnieniem pomysłu z ważniaka. Wstrzymałem się, do dziś, z pracą nad podziałem zbioru nieskończonego na ilość nieskończoną równolicznych podzbiorów. Pomysł byłby podobny, ale zająłby- nie wiadomo- ze 6 czy 8 kartek papieru ( jak dla podziału na n zajął 4 strony, to teraz liczę, że zająłby co najmniej 6). Dzięki pomysłowi a4karo, dowód będzie pewnie krótszy, a przede wszystkim lżejszy. 8-) Tamten pomysł, opierał się na twierdzeniu Zermelo, i twierdzeniu o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 01:12 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
Czyli \stackrel{ \rightarrow }{f^{-1}} \left( A \times\left\{  1\right\}\right) oraz \stackrel{ \rightarrow }{f^{-1}} \left( A \times\left\{  2\right\}\right) :?:

Tak. Notacja ze strzałkami jest raczej przestarzała.

Jakub Gurak napisał(a):
a4karo, muszę powiedzieć, że jesteś pomysłowy.

Nie ujmując nic a4karo, to dość standardowy pomysł.

Jakub Gurak napisał(a):
A jak się uda, to później będziemy dzielić zbiór nieskończony na n zbiorów równolicznych, a potem na dowolną ilość nieskończoną.

No na dowolną to niekoniecznie Ci się uda.

Jakub Gurak napisał(a):
W pierwszych dniach stycznia tego roku, uogólniłem ten pomysł na podział na n zbiorów równolicznych. Dowód, zajmuję 4 strony A4, i jest analogicznym uogólnieniem pomysłu z ważniaka.

Jak umiesz dzielić na dwa, to umiesz dzielić na n - to jest bardzo prosta indukcja, która zajmuje dwie linijki.

Naprawdę, czasami warto poczytać coś innego niż ważniaka...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2018, o 00:49 
Użytkownik

Posty: 372
Lokalizacja: Rzeszów
Jakub Gurak napisał(a):
a4karo, muszę powiedzieć, że jesteś pomysłowy.
Jan Kraszewski napisał(a):
Nie ujmując nic a4karo, to dość standardowy pomysł.
Ten pomysł mnie wiele nauczył.
Jakub Gurak napisał(a):
W pierwszych dniach stycznia tego roku, uogólniłem ten pomysł na podział na n zbiorów równolicznych. Dowód, zajmuję 4 strony A4, i jest analogicznym uogólnieniem pomysłu z ważniaka.
Jan Kraszewski napisał(a):
Jak umiesz dzielić na dwa, to umiesz dzielić na n - to jest bardzo prosta indukcja, która zajmuje dwie linijki.
Tak, wystarczy wziąć zbiór nieskończony, podzielić go na n zbiorów równolicznych, wziąć jeden z tych zbiorów (np. ostatni), i podzielić (będzie on nieskończony)-więc można go podzielić na dwa zbiory równoliczne. W ten sposób otrzymamy podział na n+1 zbiorów równolicznych ( równolicznych, bo ten ostatni zbiór nieskończony dzielimy na dwa zbiory równoliczne, a więc nieskończone- oznaczmy je A, B; wtedy A \cup B\sim A\sim B, a pozostałe zbiory z założenia są równoliczne z tą sumą mnogościową).

Zauważyłem to już gdzieś wtedy początkiem stycznia, gdy realizowałem ten niełatwy pomysł. Ale nie rezygnowałem z pracy, mając świadomość, że przy pracy nad podziałem na nieskończoną ilość podzbiorów będę musiał zastosować ten ciężki pomysł. Dzięki a4karo okazało się to na szczęście niepotrzebne. a4karo ,dzięki. Jutro o tym napiszę, ale już dziś odsyłam https://www.matematyka.pl/429808.htm
Jan Kraszewski napisał(a):
Naprawdę, czasami warto poczytać coś innego niż ważniaka...
Może tak, albo skonsultować się z innym matematykiem. Temat ( ten początkowy -podział na dwa zbiory)- znam go od lat, i nigdy nie widziałem prostszego rozwiązania niż pomysł z ważniaka. A a4karo zobaczył, i podał pomysł. :) Udało się go zrealizować ( patrz link). Jak to człowiek może czasem nie widzieć...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2018, o 01:55 
Administrator

Posty: 22627
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
A a4karo zobaczył, i podał pomysł.

Jestem przekonany, że znał to od bardzo dawna.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbiór "odjąć" iloczyn kartezjański  smarkaty  5
 Czy istnieje zbiór spełniający warunek?  act  8
 Zbiór wszystkich zbiorów. - zadanie 2  Tmkk  6
 Jak opisać słownie taki zbiór?  DemoniX  4
 Moc continuum  lila9  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl