szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: W grupie
PostNapisane: 30 sty 2018, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
Czy w grupie \QQ z dodawaniem jako działaniem grupowym istnieje podgrupa izomorficzna z \ZZ \times \ZZ ?

No to tak, intuicyjnie, to się wydaje, że całe \QQ jest izmorficzne z \ZZ \times \ZZ , ale nie wiem jak to uzasadnić.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: W grupie
PostNapisane: 30 sty 2018, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Czy grupa \mathbb{Q} jest skończenie generowana tak jak \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: W grupie
PostNapisane: 30 sty 2018, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
Aha to o to chodzi. No dobra, to \QQ jak mi się wydaje to jest generowana przez zbiór:
\left\{  \frac{1}{i}:i \in \ZZ \right\} czyli zbiór nieskończony, o to chodzi ta?
A \ZZ \times \ZZ to przez \left\{ (1,0),(0,1)\right\} ta?

No dobra to w takim razie można wrócić do zadania. Jak to dalej zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: W grupie
PostNapisane: 31 sty 2018, o 14:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Jeżeli \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} miałoby być izomorficzne z podgrupą \mathbb{Q}, istniałby monomorfizm \varphi\colon\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}. Zatem \varphi(1,0) = p oraz \varphi(0,1) = q dla pewnych p,q\in\mathbb{Q}. Co dalej z tego wynika?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 31 sty 2018, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
Hmm, to, że \QQ by było generowane przez jakieś dwie liczby wymierne?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 00:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Nie. Spróbuj pokazać, że taki homomorfizm nie może być różnowartościowy: znajdź wspólną wartość dla \varphi(n,0)=\varphi(0,m) dla pewnych n,m\in\mathbb{N}.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 00:39 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
No, ale nic nie wiem o tym homomorfiźmie. To z definicji homomorfizmu ma pójść?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 00:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Wróć do mojego poprzedniego postu z definicją monomorfizmu. Rozpisz p=\tfrac{a}{b} oraz q=\tfrac{c}{b} dla pewnych liczb a,b,c,d. Potem spróbuj znaleźć x,y naturalne, że

x\cdot\frac{a}{b}=y\cdot\frac{c}{d}

Dla jakich argumentów powyższe wartości są przyjęte?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 00:56 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
No to co się narzuca to x=y=0, ale nie wiem czy o to chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 11:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Idea jest taka, by pokazać, że żaden homomorfimz produktu liczb całkowitych w liczby wymierne nie może być różnowartościowy.

Dla x=y=0 wskazujemy dwa razy ten sam punkt ((0,0)), a powinny być różne. Pokombinuj więcej.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 12:03 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
Dla dowolnych a,b,c,d to ma zachodzić? Czy one są ustalone czy mam wybrać?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 12:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Wiesz, że:

\varphi(1,0) = p=\tfrac{a}{b} oraz \varphi(0,1) = q=\tfrac{c}{d} dla pewnych a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 1918
Lokalizacja: Kraków
To może w ten sposób: x=cd,y=ad tak?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: W grupie
PostNapisane: 1 lut 2018, o 12:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Dokładnie o to chodzi:

\varphi(b^2cd,0)=b^2cd\varphi(1,0)=b^2cd\tfrac{a}{b}=abcd=abd^2\tfrac{c}{d}=\varphi(0,abd^2).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podgrupa w grupie  mrowkazzzzz  1
 Element neutralny w grupie  Lucjan  2
 Działania w grupie - zadanie 3  sprzemcio  6
 Rząd elementu w grupie nieabelowej  MakCis  2
 Wykaż, że w grupie  nasti  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl