szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 01:14 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Brodnica
Witam, mam problem z jednym zadaniem, a mianowicie:
Cytuj:
Znajdź liczbę permutacji zbioru A=\left\{1,...,n\right\} , gdzie liczby podzielne przez 5 nie są obok siebie.

Przychodzi mi do głowy kilka rozwiązań:
a. układam wszystkie liczby podzielne przez 5 : \left( \bigg\lfloor \frac{n}{5} \bigg\rfloor\right)! \cdot \left( n-\bigg\lfloor \frac{n}{5}\bigg\rfloor\right)!
b. korzystając z zasady włączeń–wyłączeń:
A – wszystkie możliwości; |A|=n!
X_{i} – i liczb podzielnych przez 5 jest obok siebie
X_{2} = \left( \bigg\lfloor \frac{n}{5} \bigg\rfloor\right) \cdot \left( \bigg\lfloor \frac{n}{5} \bigg\rfloor -1\right) \cdot \left( n-1\right)!
X_{i} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{5} \rfloor} \left( -1\right)^{k+1} \left( \bigg\lfloor \frac{n}{5} \bigg\rfloor -k\right) \cdot \left( \bigg\lfloor \frac{n}{5} \bigg\rfloor -k-1)\right) \cdot \left( n-1-k\right)!
I do A dodajemy powyższą sumę.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 04:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Twój wzór nie gra..

Powinno raczej być:

S=n!- \sum_{i=2}^{s}(-1)^i  {s \choose i}(n-i+1)! \cdot i!

Gdzie s to ilość liczb podzielnych przez pięć...

Zauważ, że wzór ten jest uniwersalny działa na n - elementach oraz dowolnych s przedziałkach,
w ten sposób, że przedziałki nie stoją koło siebie, np:

masz trzy literki i trzy liczby:

a,b,c,1,2,3

I teraz masz tak je ułożyć aby literki nie stały koło siebie, z doświadczenia masz:

a12b3c - jest tu.: 3! \cdot 3! - możliwości

a1b23c - jest tu.: 3! \cdot 3! - możliwości

1a2b3c - jest tu.: 3! \cdot 3! - możliwości

a1b2c3 - jest tu.: 3! \cdot 3! - możliwości

Razem:

4 \cdot 36=144

A teraz podłóżmy pod ten wzór:

n=6, s=3

mamy:

6!- \sum_{i=2}^{3}(-1)^i {3 \choose i}(6-i+1)! \cdot i!= 720- {3 \choose 2} \cdot 5! \cdot 2!+ {3 \choose 3} \cdot 4! \cdot 3!=

=720-3 \cdot 120 \cdot 2+1 \cdot 24 \cdot 6=720-720+144=144
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 liczba permutacji zbioru  major37  2
 Liczba możliwych sposobów - kombinatoryka  kotek881  1
 trzycyfrowa liczba kombinatoryka  lightinside  4
 Liczba pozdzbiorów o danej własności  Downonmyluck  2
 Słowotok - liczba wszystkich ciągów  przem_as  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl