szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 16:44 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
W jaki sposób nie korzystając z twierdzenia Cantora-Bernsteina wywnioskować w miarę prosto i elementarnie sprzeczność z założeń P(A) \nsim A, P(A) \sim B, B \subset A ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 22:28 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7787
Lokalizacja: Wrocław
Gdyby \mathcal{P}(A) \sim B , to istniałaby injekcja g : \mathcal{P}(A) \to B , która byłaby też injekcją \mathcal{P}(A) \to A . Łatwo znaleźć injekcję w drugą stronę, zatem A \sim \mathcal{P}(A) , co daje sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Hm, ale czy aby A \sim \mathcal{P}(A) nie wywnioskowałeś w oparciu o twierdzenie Cantora-Bernsteina?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2018, o 23:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7787
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście, wywnioskowałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 01:18 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Ok, ale żeby nie korzystać z C-B jak mi chodziło, to takie coś może być?

Jeśli f:B \rightarrow P(A) iniekcja i B \subset A , to \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\} \in P(A) . Jeśli B=\emptyset , to f nie jest suriekcją, bo P(A) \neq 0 , a jeśli B\neq \emptyset , to ma jakieś y i wtedy każde x z B spełnia x \in \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\} \div f(x) , czyli f^{-1}[\left\{ \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\}\right\} ]=\emptyset i f nie jest suriekcją.

Chyba nigdzie z C-B nie korzystam, ale nie jestem pewny czy blefu tu nie ma gdzieś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 03:39 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Skoro P(A) \sim B , to mamy bijekcję między P(A) a B , która jest w szczególności różnowartościowa. A więc \left| P(A)\right| \le \left| B\right| . Ponieważ B\subset A , to \left| B\right| \le \left| A\right| . Z przechodniości (słabej :!:) nierówności mocy zbiorów, \left| P(A)\right| \le \left| A\right| . Jest to sprzeczność z twierdzeniem Cantora.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 11:34 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7787
Lokalizacja: Wrocław
MrMorgan napisał(a):
Jeśli f:B \rightarrow P(A) iniekcja i B \subset A , to \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\} \in P(A) . Jeśli B=\emptyset , to f nie jest suriekcją, bo P(A) \neq 0 , a jeśli B\neq \emptyset , to ma jakieś y i wtedy każde x z B spełnia x \in \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\} \div f(x) , czyli f^{-1}[\left\{ \left\{ x \in B:x \notin f(x)\right\}\right\} ]=\emptyset i f nie jest suriekcją.

Chyba nigdzie z C-B nie korzystam, ale nie jestem pewny czy blefu tu nie ma gdzieś.
Dowód jest poprawny i nie korzysta z C-B. Można go trochę uprościć, bo dowód dla przypadku B \neq \emptyset nie korzysta z niepustości B , zatem podział na przypadki można usunąć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 15:46 
Administrator

Posty: 22651
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
Jest to sprzeczność z twierdzeniem Cantora.

W jaki sposób? Wiesz tylko (w tym zadaniu), że P(A) \nsim A, a to jeszcze za mało na sprzeczność.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 00:38 
Użytkownik

Posty: 374
Lokalizacja: Rzeszów
Widocznie też skorzystałem ( nieświadomie) z twierdzenia Cantora-Bernsteina.

Ten zakaz korzystania z tego twierdzenia jest tu bardzo niewygodny. :?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy możliwe jest istnienie takich zbiorów ?  exood  0
 równość zbiorów-intuicje  Jakub Gurak  1
 Iloczyny zbiorów.  P3Le  0
 Dowieść, że dla wszelkich zbiorów A, B, C zachodzi równość  197Yoanna  7
 Para uporządkowana i iloczyn kartezjański zbiorów  kamipia  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl