szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Niwim
\left(  \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30} Jak to rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 143
Lokalizacja: Warszawa
Zamień wyrażenie pod potęgą na postać trygonometryczną (można na dwa sposoby, na oko nie widzę, którym łatwiej) a następnie skorzystaj ze wzoru de Moivre'a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 20:22 
Gość Specjalny

Posty: 5793
Lokalizacja: Toruń
Zdaje się, że najprościej będzie podnieść do tej potęgi osobno licznik i osobno mianownik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Niwim
Wyszło mi coś takiego. \left(  \sqrt{3}-1+i\sqrt{3}+i\right) ^{ \frac{1}{2} }

Czyli teraz mam po prostu wyciągnąć z tego moduł tak jak poniżej tak?

\sqrt{\left( \frac{ \sqrt{3}-1}{2}\right)^{2} +\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^{2} } }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2018, o 21:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1395
Lokalizacja: hrubielowo
\left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i  \right)^3\right)^{10}  }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15}  }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}=...

Teraz już łatwo to policzyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 10:11 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Niwim
Janusz Tracz napisał(a):
\left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i  \right)^3\right)^{10}  }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15}  }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}=...

Teraz już łatwo to policzyć.


No nie tak łatwo. Mam teraz osobno policzyć postać trygonometryczną dla licznika i mianownika czy najpierw usunąć mianownik i dopiero potem policzyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 10:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1395
Lokalizacja: hrubielowo
Policz osobno licznik i mianownik. Pamiętając że:
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

L=(8i)^{10}=8^{10}i^{10}=8^{10}i^{8}i^2=-8^{10}

M=(-2i)^{15}=-2^{15}i^{15}=-2^{15}i^{12}i^3=2^{15}i

Czyli

\left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}= \frac{\left( \left( \sqrt{3}+i \right)^3\right)^{10} }{\left( \left(1-i \right)^2\right)^{15} }= \frac{\left( 8i\right)^{10} }{(-2i)^{15}}= \frac{-8^{10}}{2^{15}i}=2^{15}i

Ostatnie przejście jest konsekwencją tego że \frac{1}{i}=-i oraz spostrzeżenia że 8^{10}=2^{30}. Ostatecznie mamy więc:

\left( \frac{ \sqrt{3}+i}{1-i} \right) ^{30}=2^{15}i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 10:54 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Niwim
O dzięki wielkie! :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz wartość wyrażenia  Skrzypu  7
 oblicz wartość wyrażenia - zadanie 31  yonagold  1
 oblicz wartość wyrażenia - zadanie 49  VTH  5
 oblicz wartość wyrażenia - zadanie 56  Dahaqa  2
 oblicz wartość wyrażenia - zadanie 66  kuczyn  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl