szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
Załóżmy, że funkcja f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} jest holomorficzna. Udowodnij, że funkcja g:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} zdefiniowana g(z) = \overline{f(\overline{z})} jest holomorficzna. Próbowałem coś zwojować równaniami Cauchy'ego-Riemanna ale nic mi z tego nie wyszło.

PS. Jeżeli przyjmiemy, że f(z) = u(x, y) + iv(x, y) to przez zapis \overline{f(\overline{z})} mam na myśli \overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x,
 -y)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 3159
I
g(z) = \overline{f(\overline{z}}).

g'(p) = \lim_{z\to p}\frac{g(z) - g(p) }{z -p} =...= \overline{f(\overline{p})}

II

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z - c)^{n}

\overline{f(\overline{z}}) = ...= \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a}_{n}(z - \overline{c})^{n}

III

Twierdzenie Morery

\int_{\gamma}\overline{f(\overline{z})}dz = ...= -\int_{\overline{\gamma}}f(t)dt

gdzie:

krzywa {\overline{\gamma} jest odbiciem symetrycznym względem osi Ox krzywej \gamma.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 21:39 
Gość Specjalny

Posty: 5782
Lokalizacja: Toruń
OK, zatem
\overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x, -y) = \tilde{u} + i \tilde{v},
gdzie \tilde{u}(x,y) = u(x,-y) i \tilde{v}(x,y)=-v(x,-y). Możemy zatem policzyć
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} u(x,-y) = \frac{\partial }{\partial y} v(x,-y) = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} (x,y).
Analogicznie sprawdzisz, że drugie z równań C-R jest spełnione.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
janusz47 napisał(a):
I
g(z) = \overline{f(\overline{z}}).

g'(p) = \lim_{z\to p}\frac{g(z) - g(p) }{z -p} =...= \overline{f(\overline{p})}

II

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z - c)^{n}

\overline{f(\overline{z}}) = ...= \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a}_{n}(z - \overline{c})^{n}

III

Twierdzenie Morery

\int_{\gamma}\overline{f(\overline{z})}dz = ...= -\int_{\overline{\gamma}}f(t)dt

gdzie:

krzywa {\overline{\gamma} jest odbiciem symetrycznym względem osi Ox krzywej \gamma.


Mógłby Pan trochę rozwinąć swoje rozwiązania, dopiero zaczynam swoją przygodę z analizą zespoloną a Pańskie rozwiązania wydają mi się bardzo enigmatyczne.

bartek118 napisał(a):
OK, zatem
\overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x, -y) = \tilde{u} + i \tilde{v},
gdzie \tilde{u}(x,y) = u(x,-y) i \tilde{v}(x,y)=-v(x,-y). Możemy zatem policzyć
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} u(x,-y) = \frac{\partial }{\partial y} v(x,-y) = \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y} (x,y).
Analogicznie sprawdzisz, że drugie z równań C-R jest spełnione.

Może źle pamiętam, ale argument ze sprawdzaniem równań C-R działa tylko w jedną stronę (jeżeli funkcja jest holomorficzna to równania C-R są spełnione). Żeby implikacja w drugą stronę była prawdziwa funkcja musi być ciągła, a w zadaniu nie mam nic powiedziane o ciągłośći. Chyba, że jest jakiś prosty dowód, że skoro f(z) jest holomorficzna (w tym ciągła) to \overline{f(\overline{z})} jest ciągła
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 3159
I i II

Podstawienia i własności sprzężenia i podwójnego sprzężenia.

III

Własności całki po krzywej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 09:30 
Gość Specjalny

Posty: 5782
Lokalizacja: Toruń
Zauważ, że skoro f jest holomorficzna, to u i v są różniczkowalne. Stąd łatwo wywnioskować, że g musi być różniczkowalna (w sensie rzeczywistym). To i warunki C-R dają różniczkowalność w sensie zespolonym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 14:19 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
bartek118 napisał(a):
Zauważ, że skoro f jest holomorficzna, to u i v są różniczkowalne. Stąd łatwo wywnioskować, że g musi być różniczkowalna (w sensie rzeczywistym). To i warunki C-R dają różniczkowalność w sensie zespolonym.


u i v są różniczkowalne ale już ich pochodne nie muszą być ciągłe. A żeby skorzystać z C-R to u' i v' muszą być ciągłe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja Holomorficzna  RazorY999  16
 funkcja holomorficzna - zadanie 4  Minnie_  1
 Funkcja holomorficzna - zadanie 5  Mihalenko  5
 Funkcja holomorficzna - zadanie 7  hawk_007  3
 Funkcja holomorficzna - zadanie 2  m872  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl