szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2018, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Kraków
Witam, natknąłem się na zadanie z dwoma podpunktami (oba powiązane), z czego pierwszy to pytanie o definicję całki Riemanna, za to drugi to jej zastosowanie w praktyce, na co niestety nie mam pomysłu. Muszę jakoś z jej pomocą wyznaczyć granicę ciągu
a_{n}=  \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+\dots+ \frac{1}{n+n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 00:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
\frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+\dots+ \frac{1}{n+n}=\\= \frac{1}{n}\cdot  \frac{1}{1+\frac 1 n}  + \frac{1}{n}  \cdot  \frac{1}{1+\frac 2 n}+\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac 3 n} +\ldots+ \frac{1}{n}  \cdot  \frac{1}{2}=\\= \sum_{k=1}^{n}  \frac 1 n \ f\left( \frac k n\right)
gdzie f(x)= \frac{1}{1+x}, a zatem
\lim_{n \to  \infty } \left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+\dots+ \frac{1}{n+n}\right) = \int_{0}^{1}  \frac{\,\dd x}{1+x} =\ln(2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Kraków
nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem. Na początku to przedstawienie w postaci sumy z wyłączonym \frac{1}{n} służy pokazaniu, że funkcja jest niezależna od wyboru punktów pośrednich. A potem zastępujemy te ułamki z mianownika zmienną x, ponieważ nie mają one wpływu na naszą całkę a chcemy je ujednolicić. Potem normalnie z definicji na przedziale od 0 do 1 liczymy całkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 01:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
Chyba nie do końca.
Funkcja f(x)=\frac{1}{1+x}, jest ciągła na odcinku [0,1] (funkcje wymierne są ciągłe w swojej dziedzinie, to raczej standardowy fakt), a więc całkowalna w sensie Riemanna (też raczej standard).
Zatem każdy ciąg sum Riemanna na tym przedziale jest zbieżny do tej samej granicy, którą jest właśnie
\int_{0}^{1}  \frac{\,\dd x}{1+x}.
W szczególności bierzemy taki równomierny ciąg podziałów, gdzie w n-tym kroku dzielimy odcinek \left[ 0,1\right] na n części:
\left[ 0, \frac 1 n\right], \ \left( \frac 1 n, \frac 2 n\right], \ldots \left( \frac{n-1}n, 1\right]
i bierzemy wartość w prawym końcu danego przedzialiku.
Patrz też tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82k ... a_Riemanna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 01:24 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: Kraków
Dziękuję za pomoc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu a całka Riemanna  Browning0  2
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl