szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 19:17 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warsaw
Mam takie zadanie:
Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

f(x)= \begin{cases}  \frac{\cos(2x)-1}{ x^{2} }  &\text{dla } x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)\\-2 &\text{dla } x=0 \end{cases}

Zacząłem od rozwinięcia w szereg Maclaurina \cos(x), przekształciłem biorąc x \rightarrow 2x i dzieląc przez x^{2} i chciałem dodać do tego szereg, który znalazłbym dla -\frac{1}{ x^{2} } niestety do tego nie umiałem znaleźć żadnego rozwinięcia, które można by użyć więc zacząłem liczyć na piechotę i przy pierwszej pochodnej dotarło do mnie, że f'( x_{0} =0)=0.

No i teraz zastanawiam się co powinienem zrobić?

Czy nie powinno się tu napisać że w związku z tym, że wszystkie pochodne f^{n} ( x_{0} =0)=0 to szereg Maclaurina dla tej funkcji to po prostu -2+0+0+0+0+0...?

Wydaje mi się, że tak jest, ale jest to zadanie za 1/3 punktów na kolokwium co wzbudza moje podejrzenia...

Będę wdzięczny jeśli ktoś mi wyjaśni czy dobrze myślę czy coś kompletnie pomieszałem?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lut 2018, o 19:34 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przeciez szereg dla kosinusa zaczyna się od 1. Odejmij ją, a potem podziel przez x^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 20:04 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warsaw
Rzeczywiście... w ogóle o tym nie pomyślałem...
Czyli będzie tak:

\cos(2x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{2n!} (2x)^{2n}

\cos(2x)-1= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{2n!} (2x)^{2n}

\frac{\cos(2x)-1}{ x^{2} } = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{2n!}  \frac{(2x)^{2n}}{ x^{2} }

\frac{\cos(2x)-1}{ x^{2} }=\frac{\cos(2x)-1}{ x^{2} } = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{2n!}  4^{n}  (x^{2})^{n-1}

?

A możesz mi jeszcze podpowiedzieć jak z tym x=0?
W sensie jak powinna wyglądać odpowiedź?

\begin{cases} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{2n!}  4^{n}  (x^{2})^{n-1}&\text{dla } x \in (-\infty,0)\cup(0,\infty)\\-2 &\text{dla } x=0  \end{cases}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lut 2018, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jest istotna różnica miedzy (2n)! i 2n!


A sprawdziłeś jaka jest wartość tego szeregu w zerze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warsaw
Jasne, różnicę rozumiem. na kartce mam dobrze, to przez brak doświadczenia z LaTeXem...
nie zauważyłem tego w podglądzie...


no z tą wartością to rozumiem, że przez pierwszy wyraz nie istnieje suma takiego szeregu...
gdyby zacząć od n=2 to byłaby 0 ale zaczynamy od 1 czyli dzielimy przez 0 więc szereg nie ma w tym punkcie wartości?

a sama funkcja ma w tym punkcie wartość -2 stąd mój problem...
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lut 2018, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
A o co Ci chodzi z tym pierwszym wyrazem? Zobacz jak wygląda pierwszy wyraz sumy (odpowiadający n=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warsaw
pierwszy wyraz jest:
\frac{(-1) ^{1} 4 ^{1} }{(2*1)!} (0 ^{2}) ^{1-1}

\frac{-4 }{2} (0) ^{0} no i przez to taka suma nie istnieje, tak?

napisałem o pierwszym wyrazie bo gdyby go pominąć to n>1 więc wykładnik potęgi nie jest równy 0 i cała suma szeregu dawałaby 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 21:22 
Gość Specjalny

Posty: 5802
Lokalizacja: Toruń
Przy szeregach funkcyjnych najczęściej przyjmuje się konwencję 0^0 = 1.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 lut 2018, o 00:39 
Użytkownik

Posty: 15355
Lokalizacja: Bydgoszcz
A co jest złego w wyrażeniu 0^2.
A jak nie wierzysz w ten zapis, to napisz parę wyrazów tego szeregu w liczniku przed podzieleniem i podziel. Zobaczysz jak wygląda pierwszy wyraz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szereg Fouriera - zadanie 31  dampira  1
 Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina - zadanie 8  tonyhouk  4
 szereg Maclaurina - zadanie 8  roger_biezanow  0
 Wyznaczenie widma fazowego (szereg Fouriera)  Bialy  0
 szereg Taylora - zadanie 30  kolezankaqq  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl