szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Tomaszów Maz.
Wiem, że jeżeli między grupami G oraz H istnieje izomorfizm to obie muszą być cykliczne, równoliczne, abelowe itp. ale co w przypadku, gdy mamy do czynienia nie z izomorfizmem, a homomorfizmem, epimorfizmem bądź monomorfizmem? Czy powyższe odwzorowania mogą istnieć między grupami, z których jedna jest np. abelowa, a druga nie? Bardzo proszę o wytłumaczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 22:04 
Administrator

Posty: 23299
Lokalizacja: Wrocław
Majkon1 napisał(a):
Czy powyższe odwzorowania mogą istnieć między grupami, z których jedna jest np. abelowa, a druga nie? Bardzo proszę o wytłumaczenie.

Ależ oczywiście. Niech G=\{e\} - jest to niewątpliwie grupa abelowa. Wtedy dla dowolnej grupy H odwzorowanie f:H\to G, f(h)=e jest epimorfizmem, a odwzorowanie g:G\to H, g(e)=e jest monomorfizmem.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Tomaszów Maz.
Dziękuję, a czy prawdą jest, że jeżeli grupa H jest abelowa i istnieje epimorfizm f : H \rightarrow G to grupa G też jest abelowa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2018, o 12:45 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7905
Lokalizacja: Wrocław
Tak. Można to zobaczyć na dwa sposoby.

1. Homomorfizm to takie odwzorowanie, które może istnieć tylko wtedy, gdy każda relacja między elementami, która zachodzi w dziedzinie, zachodzi też w obrazie. W naszym przypadku, skoro dziedzina jest abelowa, to dla dowolnych h, h' \in H mamy h \cdot h' = h' \cdot h. W takim razie f(h) \cdot f(h') = f(h') \cdot f(h), czyli dowolne dwa elementy w obrazie komutują. Ponieważ f jest epimorfizmem, G musi być abelowa.

2. Na mocy twierdzenia o izomorfizmie mamy G = \mathrm{im} \, f \cong H / \ker f. Ale iloraz grupy abelowej przez dowolną podgrupę jest abelowy, zatem G jest abelowa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Homomorfizm między pierścieniem ilorazowym a Z_2  YyyYYyyyY  9
 Udowdnić, że są grupami:  Strider  0
 różnica między ciałem i pierścieniem i ...  pikra  1
 Własność odwzorowania  studentka ap  5
 Grupy-zależność między rzędami, izomorfizm, homomorfizm  xxxmgdxxx  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl