szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 4 lut 2018, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: PL
Dzień dobry.

Jest ktoś w stanie pomóc mi z takim ciągiem:

\lim_{n \to \infty} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}\right)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 4 lut 2018, o 02:09 
Użytkownik

Posty: 777
Lokalizacja: Polska
Zapis nie jest, bynajmniej, poprawny
Powinno być
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}
a poprawniej
\lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}
a bez zbędnych komplikacji
\prod_{k=1}^{\infty} \frac{2k-1}{2k}

Co otrzymasz mnożąc przez siebie liczby ciągle mniejsze od jeden? Tj. jaką liczbę (nie w nieskończoności, tylko w stosunku do czynników)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 4 lut 2018, o 02:23 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: PL
A w jaki sposób udowodnić do czego zbiega ten ciąg?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2018, o 02:57 
Użytkownik

Posty: 12660
Znane.
\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}\right)^2\le \frac{1}{2n+1}, więc granicą jest zero.

-- 4 lut 2018, o 01:59 --

413694.htm

-- 4 lut 2018, o 02:05 --

Ogólnie jakby ktoś nie załapał, to działa tak, że
\left( \frac 1 2\right)^2 \le \frac 1 2\cdot \frac 2 3\\\left( \frac 3 4\right)^2 \le \frac 3 4\cdot \frac 4 5\\\left( \frac 5 6\right)^2 \le \frac 5 6\cdot \frac 6 7\\ \ldots \\\left( \frac{2n-1}{2n}\right)^2\le \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n}{2n+1}
Po wymnożeniu tego wszystkiego otrzymujemy
\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}\right)^2\le \frac{1}{2n+1}, czyli, z uwagi na dodatniość \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}, dostajemy
\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
(a nawet nierówność jest ostra).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl