szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2018, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 21
Myślałem dosć długo nad tym zadaniem, w końcu udało mi się dojść do pewengo rozwiązania, jednak nie jestem pewny co do jego poprawności.

Chciałbym skorzystać z twierdzenia Cantora-Bernsteina. Aby to zrobić, szukam ograniczenia dolnego - na pewno jest to moc zbioru liczb rzeczywistych, ponieważ funkcja przyporządkowująca liczbie rzeczywistej funkcję stale równą tej liczbie jest iniekcją z liczb rzeczywistych w zbiór funkcji różniczkowalnych.

Jako ograniczenie górne zdecydowałem się wybrać zbiór funkcji ciągłych na płaszczyźnie rzeczywistej. Jest on mocy continuum. Ograniczenie z dołu to ponownie zbiór liczb rzeczywistych (przypisujemy funkcję stałą). Z góry natomiast możemy ponownie wziąć zbiór liczb rzeczywistych i następujące przyporządkowanie:
f(x) = x \upharpoonright \mathbb Q. Korzystam tu niejawnie z faktu, że moc zbioru liczb rzeczywistych jest taka sama, jak moc zbioru funkcji z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste.
Pojawia tu się jednak problem przy sprawdzeniu iniekcji - należałoby udowodnić twierdzenie, że jeżeli dwie funkcje przycięte do tej samej dziedziny są takie same na tej dziedzinie, to są one równe. Nie posiadam jednak wystarczającej wiedzy z topologii, żeby to sensownie zrobić - wszelka pomoc mile widziana.

Skoro ustaliliśmy już górne i dolne ogranczenia, na mocy wspomnianego wcześniej twierdzenia mamy, że jest continuum wiele funkcji różniczkowalnych.

Czy takie rozwiązanie jest dobre? Czy można to zrobić prościej?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2018, o 18:07 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
Aemilius napisał(a):
Pojawia tu się jednak problem przy sprawdzeniu iniekcji - należałoby udowodnić twierdzenie, że jeżeli dwie funkcje przycięte do tej samej dziedziny są takie same na tej dziedzinie, to są one równe. Nie posiadam jednak wystarczającej wiedzy z topologii, żeby to sensownie zrobić - wszelka pomoc mile widziana.

Ale jaka wiedza topologiczna? Przecież to jest prosta analiza.

Masz pokazać, że jeśli dwie funkcje ciągłe są identyczne na liczbach wymiernych, to są równe - przecież to jest dość natychmiastowy wniosek z tego, że są ciągłe, a zbiór \QQ leży gęsto w \RR - wystarczy skorzystać z def. Heinego ciągłości funkcji.

Poza tym rozwiązanie jest OK.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Definicja funkcji.  Anonymous  1
 Jak udowodnic ze dzialanie jest laczne....  merneith  7
 Wykazac ze zbior jest nieprzeliczalny...  ruben  12
 Definicja funkcji elementarnych.  Anonymous  2
 czego jest więcej: liczb R czy R+?  matemateusz  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl