szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 115
Rozwiąż nierówność:
2x + 4 + \frac{8}{x} +... \le - \frac{16}{3}
Wiem, że to szereg x \in (- \infty ,-2) \cup (2, \infty )

Wyszło mi tak:
6(x + 4)\left( x - \frac{4}{3}\right)(x - 2) \le 0

Co ostatecznie dało mi: x\in (- \infty,-4\rangle .
Czy to jest dobrze, bo moja odpowiedź nie zgadza się z odpowiedzią w arkuszu maturalnym.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 12:06 
Użytkownik

Posty: 3031
Lokalizacja: Gdynia
Brakuje rozwiązania dla zakresu \, x > 2 .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 115
To będzie x\in(-\infty,-4\rangle\cup\left\{ 2\right\} . Nie bardzo rozumiem, bo według dziedziny nie powinno być 2 .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 3031
Lokalizacja: Gdynia
A jak masz w odpowiedzi?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 115
W odpowiedzi jest (-4,-2) .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 19:53 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Dziedziną tej nierówności jest \RR\setminus\{0\} .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 115
Dlaczego taka dziedzina? Mógłbyś to wyjaśnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 12521
SlotaWoj, tak nie jest. Nie lubię takiego zapisu, ale pewnie chodzi o to, że:

2x + 4 + \frac{8}{x} +...= \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n x^{1-n}=x \sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac 2 x\right)^n

Zatem dziedzina wygląda tak: x\neq 0, |x|>2 ,
tj. x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 115
Przecież taką dziedzinę mam, proszę zobaczyć. Zrobiłam wykres od prawego górnego rogu i mam problem, bo mój wynik (-\infty,-4\rangle , ale w książce jest inaczej (-4,-2) . Problem mój to wynik, dziedzinę mam i wiem jak ją zrobiłam. Wynik, dlaczego mi się nie zgadza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 12521
Przecież nie Tobie odpowiadałem w tym momencie, tylko prostowałem pewne nieprawdziwe stwierdzenie.

Jeszcze na palcach liczyć nie umiem, raczej jest tak:

2x + 4 + \frac{8}{x} +...= \sum_{n=0}^{+\infty} 2^{n+1} x^{1-n}=2x \sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac 2 x\right)^n

Dla odpowiednich x to się sprowadza do nierówności:
\frac{2x}{1-\frac 2 x} \le -\frac{16}{3}
i dalej:
\frac{6x^2}{x-2}\le -16 , tj.
6x^2(x-2) \le -16(x-2)^2\\ (x-2)(6x^2+16x-32)\le 0\\ 6(x+4)(x-2)\left( x-\frac 4 3\right) \le 0
Zaś to zachodzi dla:
x \in (-\infty, -4]\cup \left[ \frac 4 3, 2\right] ,
a po uwzględnieniu dziedziny odpowiedź to:
x \in (-\infty, -4] ,
czyli masz dobrze.

-- 7 lut 2018, o 20:14 --

A nie, jednak nie do końca, przecież dla x=2 szereg nie jest zbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 21:27 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
polas napisał(a):
Dlaczego taka dziedzina ? Mógłbyś to wyjaśnić ?
Premislav napisał(a):
SlotaWoj, tak nie jest. ...
Dziedzina: \RR\setminus\{0\} , natomiast: |x|>2 , aby szereg był zbieżny, a to coś innego niż dziedzina.

Edit: 2018-02-07 20:46

Jest to szereg geometryczny o parametrach: a=2x,\;q=\frac{2}{x} . Jego suma wynosi: \frac{a}{1-q} .

Po podstawieniu otrzymujemy nierówność:

    \frac{2x^2}{x-2}\le-\frac{16}{3} ,

której rozwiązaniem jest zbiór (-\infty;-4\rangle\cup\Big\langle\frac{4}{3};2\Big) .

Edit: 2018-02-07 21:19

Ponieważ dla \Big\langle\frac{4}{3};2\Big) szereg jest rozbieżny, więc więc rozwiązaniem zadania jest przedział (-\infty;-4\rangle , co zresztą już wcześniej napisał Premislav.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 12521
SlotaWoj, nie.

Pojęcie dziedziny jest nierozerwalnie związane z pojęciem funkcji. Zapisany wzór (w nieco bardziej formalny sposób przeze mnie w poprzednim poście) reprezentuje funkcję o wartościach rzeczywistych tam, gdzie napisałem, czyli dla x \in(-\infty, -2) \cup(2,+\infty) .
Oczywiście, możemy rozpatrywać funkcje o dużo bardziej „dzikich” wartościach, ale nie jest to celem zadania (ale tak czy inaczej dziedziną nie byłoby wtedy \RR\setminus\left\{ 0\right\} ).
No to weźmy np.
x=-1 . Co się stanie?

Trzeba rozróżniać pojęcie sumy szeregu (w tym funkcyjnego) od formalnego zapisu oznaczającego szereg funkcyjny. Nas interesuje, kiedy suma szeregu funkcyjnego po lewej jest zbieżna punktowo (i łatwo można na to odpowiedzieć, gdyż to szereg geometryczny).

-- 7 lut 2018, o 20:42 --

PS Ja i tak wierzę w Boga, kurczę, Buddę, jeśli ktoś wierzy w Jana Pawła czy Jezusa, nie powiem mu „czyś zdrów na umyśle?”, ty cwana jednostko niebinarna, bo szkoda mi słów.

-- 7 lut 2018, o 20:58 --

Co do edycji, nie zgadzam się. Ja wiem, że mam w tej kwestii rację, mnie to wystarcza, nie poświęcę więcej czasu na spory czy wyjaśnienia, bo muszę napisać sprawdzian z pszyrki.
Spytam jeszcze raz: co otrzymamy, gdy wstawimy tam x=-1 ? Czy jest sens rozważać taką „nierówność”?
To tyle, miłego wieczoru.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 115
Hehe, skoro tak mi namieszaliście, to ja jednak poproszę gdzieś indziej o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 12521
Jakże nam przykro.

Hehe
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szereg Taylora - przybliżona wartość pierwiastka  wiatrwproszku  1
 Rozwinięcie w szereg Laurenta - zadanie 2  clisma  3
 Rozwinąć w szereg Fouriera - zadanie 14  Rafal014  2
 Rozwiniecie w szereg fouriera sygnału prostokątnego, an,bn  lukas1810  0
 Rozwinąć funkcję w szereg sinusów.  alior  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl