szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 89
Lokalizacja: Krakow
Gdzie się stosuje i mniej wiecej na jakiej zasadzie
Aksjomat wyróżniania
Lemat Kuratowskiego Zorna
Tw Zermelo
Aksjomat wyboru (tu wiem ze w pokazaniu rownowaznosci def. ciaglosci wg. hainego i cauchego
tylko nie wiem dokladnie za jakiej zasadzoe sie tego uzywa)
Zasada maximum Hausdorfa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 20:59 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7835
Lokalizacja: Wrocław
Aksjomat wyróżniania - zawsze wtedy, kiedy chcemy zdefiniować zbiór postaci \{ x \in X : \varphi(x) \}, czyli w zasadzie na każdym kroku.

Lemat Kuratowskiego-Zorna to chyba jedno z najczęściej stosowanych twierdzeń w matematyce. Przy jego użyciu dowodzi się m.in., że:

- w algebrze liniowej: każda przestrzeń liniowa ma bazę Hamela;
- w algebrze abstrakcyjnej: każdy ideał w pierścieniu rozszerza się do ideału maksymalnego;
- w teorii Galois: każdy izomorfizm ciał \varphi : K \to L rozszerza się do izomorfizmu algebraicznych domknięć \widehat{\varphi} \to \widehat{K} \to \widehat{L};
- w topologii: dla przestrzeni metrycznych największa moc rodziny parami rozłącznych niepustych zbiorów otwartych to najmniejsza moc podzbioru gęstego;
- w teorii mnogości: każdy filtr rozszerza się do ultrafiltru;
- w teorii modeli: każda teoria rozszerza się do teorii zupełnej;
itd.

Twierdzenia Zermelo można użyć do pokazania, że każdy zbiór jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną, ale te dwa fakty są trywialnie równoważne i drugi jest wygodniejszy, więc później raczej korzysta się z tego drugiego. Jak ktoś bardzo chce unikać liczb porządkowych, to twierdzenia Zermelo można używać do robienia indukcji porządkowej na dowolnym zbiorze.

Aksjomatu wyboru używa się wszędzie, gdzie potrzebujemy dokonać wielu wyborów jednocześnie, czyli znów na każdym kroku.

A zastosowania zasady maksimum Hausdorffa nie widziałem nigdzie indziej niż przy dowodzeniu lematu Kuratowskiego-Zorna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 22:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 89
Lokalizacja: Krakow
a mógłbyś tak w bardzo duzym skrocie powiedziec o tym dowodzie na baze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 23:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7835
Lokalizacja: Wrocław
Niech V będzie przestrzenią liniową. Rodzina \{ A \subseteq V : A \text{ jest liniowo niezależny} \} spełnia założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, więc ma element maksymalny, czyli maksymalny zbiór liniowo niezależny B. A to jest jedna z definicji bazy Hamela.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 389
Lokalizacja: Rzeszów
CzarQ napisał(a):
Gdzie się stosuje i mniej wiecej na jakiej zasadzie
Zasada maximum Hausdorfa
Jakub Gurak napisał(a):
W twierdzeniu

W każdym zbiorze uporządkowanym każdy łańcuch jest podzbiorem pewnego większego łańcucha maksymalnego.

To twierdzenie mówi że jeśli mamy zbiór uporządkowany \left( X, \le \right) oraz łańcuch A \subset X to możemy dobrać do tego łańcucha większy łańcuch pod względem inkluzji, maksymalny.
Tak, temat ten już był. Jednak dowód jest niełatwy.
CzarQ napisał(a):
Aksjomat wyboru
- bezpośrednio to chyba nie bardzo (mam na myśli wersję- dla rodziny niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór wybierający). Natomiast równoważne twierdzenie o funkcji wyboru ma o wiele większe zastosowania. Można na przykład udowodnić, że dla dowolnego zbioru nieskończonego X- zbiór ten ma moc większą lub równą niż zbiór liczb naturalnych \NN, czyli istnieje funkcja różnowartościowa z \NN w ten zbiór X. Co więcej, to twierdzenie wymaga aksjomatu wyboru. Ma ono liczne zastosowania. Podam jedno najprostsze i najpiękniejsze: Każdy zbiór nieskończony zawiera podzbiór równoliczny z \NN. Aby to udowodnić, wystarczy zastosować powyższe twierdzenie, i dostać funkcję różnowartościową, f:\NN \rightarrow X. I popatrzeć na zbiór wartości tej funkcji f_{P} \subset X. f jest różnowartościowa i 'na' f_{P}. A więc \NN\sim f_{P} \subset X, czyli f_{P} jest poszukiwanym zbiorem.

Cytuj:
Twierdzenie Zermelo
- Każde dwa zbiory są porównywalne na moc, tzn. jeden ma moc mniejszą lub równą od drugiego. Dowód: Weźmy dwa zbiory X, Y. Niech \le_{X} będzie dobrym porządkiem na X (otrzymanym na podstawie twierdzenia Zermelo). Podobnie, stosując twierdzenie Zermelo jeszcze raz, dostaniemy dobry porządek \le_{Y} na Y. Zatem \left( X, \le_{X}\right), \left( Y, \le_{Y}\right) zbiory dobrze uporządkowane. Dla dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego, a więc to zachodzi dla zbiorów X,Y. Jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego, a więc do podzbioru drugiego. Ponieważ podobieństwo jest bijekcją, więc jeden z nich jest równoliczny z podzbiorem drugiego, a więc ma moc mniejszą lub równą od drugiego. Czyli zbiory X,Y są porównywalne na moc.\square :lol:
CzarQ napisał(a):
Lemat Kuratowskiego Zorna
Główne zastosowania jakie znam, to do pewnych rodzin zbiorów uporządkowanych inkluzją. Np. aby udowodnić, że w każdym zbiorze uporządkowanym \left( X, \le\right) istnieje maksymalny antyłańcuch pod względem inkluzji. Bierzemy zbiór uporządkowany \left( X, \le \right) Rozważamy zbiór B wszystkich antyłańcuchów, i porządkujemy go inkluzją, i stosujemy do niego Lemat Zorna. Skoro chcemy znaleźć maksymalny antyłańcuch pod względem inkluzji. to logicznym się wydaje rozważenie zbioru właśnie wszystkich antyłańcuchów uporządkowanych właśnie inkluzją, i otrzymany na podstawie Lematu Zorna element maksymalny będzie maksymalnym pod względem inkluzji antyłańcuchem. Aby zastosować Lemat Zorna, trzeba spełnić jego założenia, tzn. wziąć łańcuch D w \left( B, \subset \right), położyć \bigcup D za ograniczenie górne ( trzeba się natrudzić czy \bigcup D\in B, itd.)
W podobny sposób, a nawet prostszy, przy pomocy Lematu Zorna można udowodnić, że w każdym zbiorze uporządkowanym istnieje maksymalny łańcuch pod względem inkluzji.
Można też udowodnić przy pomocy Lematu Zorna, że każdy zbiór uporządkowany można rozszerzyć do porządku liniowego na tym samym zbiorze ( dowód jest już trudniejszy).
CzarQ napisał(a):
Aksjomat wyróżniania

A \cap B=\left\{ x\in A \Bigl| \ x\in B\right\} . A \setminus B=\left\{ x\in A\Bigl| \  x\notin B\right\} .
\bigcap\mathbb{B}=\left\{ x\in \bigcup\mathbb{B}\Bigl| \  \   \bigwedge\limits_{A\in\mathbb{B}} x\in A \right\} . To takie najprostsze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 21:28 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
Cytuj:
Twierdzenie Zermelo
- Każde dwa zbiory są porównywalne na moc, tzn. jeden ma moc mniejszą lub równą od drugiego. Dowód: Weźmy dwa zbiory X, Y. Niech \le_{X} będzie dobrym porządkiem na X (otrzymanym na podstawie twierdzenia Zermelo). Podobnie, stosując twierdzenie Zermelo jeszcze raz, dostaniemy dobry porządek \le_{Y} na Y. Zatem \left( X, \le_{X}\right), \left( Y, \le_{Y}\right) zbiory dobrze uporządkowane. Dla dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego, a więc to zachodzi dla zbiorów X,Y. Jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego, a więc do podzbioru drugiego. Ponieważ podobieństwo jest bijekcją, więc jeden z nich jest równoliczny z podzbiorem drugiego, a więc ma moc mniejszą lub równą od drugiego. Czyli zbiory X,Y są porównywalne na moc.\square :lol:

Ten dowód korzysta z nietrywialnego faktu, że dla dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego. Wydaje się, że prościej skorzystać z Lematu Kuratowskiego-Zorna.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 02:48 
Użytkownik

Posty: 389
Lokalizacja: Rzeszów
Może tak (choć tego dowodu nie znam).

Co więcej- dowód twierdzenia Zermelo- to dopiero długi dowód...

Ale tak też można. Powinienem to zrobić krócej ( nie wprowadzając nieznanych pewnie dla autora tematu terminów, i nie rozwlekając dowodu).

KRÓTKI DOWÓD:

Weźmy dwa zbiory X, Y. Na mocy twierdzenia Zermelo można je dobrze uporządkować. A dwa zbiory dobrze uporządkowane są porównywalne na moc (to chyba fakt dość znany). Czyli X,Y są porównywalne na moc. \square
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2018, o 09:27 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
KRÓTKI DOWÓD:

Weźmy dwa zbiory X, Y. Na mocy twierdzenia Zermelo można je dobrze uporządkować. A dwa zbiory dobrze uporządkowane są porównywalne na moc (to chyba fakt dość znany). Czyli X,Y są porównywalne na moc. \square

Ten dowód jest krótki w zapisie, ale tylko dlatego, że główną jego trudność schowałeś w "dwa zbiory dobrze uporządkowane są porównywalne na moc (to chyba fakt dość znany)". W ten sposób wiele nietrywialnych faktów ma krótkie dowody, bo są wnioskami w jeszcze bardziej nietrywialnych twierdzeń...

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe  wagus1  8
 Podaj przykład zastosowania  loonka95  1
 Rachunek zbiorów - dowody twierdzeń  archimedes  4
 Które z poniższych implikacji są prawdziwe?  kamilm758  1
 Dowodzenie twierdzeń - zbiory.  rdhs  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl