szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 20:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 77
Lokalizacja: Krakow
( Naprawde bardzo ogolny i raczej slowny bez "znaczkow" :P )
1. z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika aksjomat wyboru
2. z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika twierdzenie Zermelo
3. z aksjomatu wyboru wynika lemat Kuratowskiego–Zorna
4. z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie Zermelo
5. z twierdzenia Zermelo wynika lemat Kuratowskiego–Zorna
6. z twierdzenia Zermelo wynika aksjomat wyboru
7. z zasady maksimum Hausdorffa wynika lemat Kuratowskiego–Zorna
8. z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika zasada maksimum Hausdorffa
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 21:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7745
Lokalizacja: Wrocław
1. Dla rodziny niepustych zbiorów \mathcal{R} rodzina częściowych funkcji wyboru \{ f : \mathcal{A} \to \bigcup \mathcal{R} : \mathcal{A} \subseteq \mathcal{R} \wedge (\forall A \in \mathcal{A}) \, f(A) \in A \} z inkluzją spełnia założenia LKZ i element maksymalny w tej rodzinie jest pełną funkcją wyboru.

2. Dla zbioru X rodzina dobrych porządków \mathcal{W} = \{ (A, \sqsubseteq) : A \subseteq X \wedge {\sqsubseteq} \text{ jest dobrym porządkiem na } A \} z relacją {(A, \sqsubseteq) \mathrel{\leqslant {\hskip -10.5pt} \raisebox{0.9pt} \vartriangleleft} (B, \sqsubseteq') \text{ gdy } (A, \sqsubseteq) \text{ jest przedziałem początkowym } (B, \sqsubseteq')} spełnia założenia LKZ i element maksymalny jest dobrym porządkiem na X.

3. Ten dowód jest nietrywialny; ogólnie dla porządku częściowego (X, \preccurlyeq) spełniającego założenia LKZ zakładamy nie wprost, że nie ma elementu maksymalnego i z aksjomatu wyboru definiujemy funkcję f : \mathcal{P}(X) \to X, która każdemu łańcuchowi w X przyporządkowuje ostre ograniczenie górne. Następnie konstruujemy rodzinę \mathcal{A} podzbiorów A \subseteq X takich, że f(L) \in A dla każdego łańcucha L \subseteq A. Później pokazujemy, że A^* = \bigcap \mathcal{A} \in \mathcal{A} jest łańcuchem, zatem f(A^*) \in A^*, co daje sprzeczność. (Może dowód nie jest dokładnie taki, ale idea jest dobra. )

4. Prawdopodobnie nie da się sensownie bez przejścia przez LKZ, lub być może przez liczby porządkowe.

5. Zbiór częściowo uporządkowany (X, \preccurlyeq) możemy dobrze uporządkować relacją \sqsubseteq. Przez rekursję porządkową definiujemy ciąg łańcuchów \left< A_{\alpha} : \alpha \in X \right> \subseteq \mathcal{P}(X) tak, że A_{\delta} = \bigcup_{\alpha < \delta} A_{\alpha} dla \delta \in X, które nie są następnikami (względem \sqsubseteq), oraz

A_{S(\alpha)} = \begin{cases} A_{\alpha} \cup \{ \alpha \} & \text{jeśli } \alpha \text{ jest ograniczeniem górnym } A_{\alpha} \\ A_{\alpha} & \text{w przeciwnym wypadku} \end{cases}

gdzie S(\alpha) oznacza następnik \alpha względem \sqsubseteq.

Wtedy \bigcup_{\alpha \in X} A_{\alpha} jest łańcuchem, więc ma ograniczenie górne i jest ono elementem maksymalnym w X.

6. Dla rodziny \mathcal{R} wystarczy dobrze uporządkować \bigcup \mathcal{R} i każdemu elementowi A \in \mathcal{R} przyporządkować \min A.

7. Jeśli każdy łańcuch w X ma ograniczenie górne, to maksymalny łańcuch (który istnieje z zasady maksimum) też je ma i jest ono elementem maksymalnym w X.

8. Łatwo sprawdzić, że rodzina łańcuchów w X z inkluzją spełnia założenia LKZ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2018, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 77
Lokalizacja: Krakow
dziękuje ^^
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak udowodnic ze dzialanie jest laczne....  merneith  7
 Wykazac ze zbior jest nieprzeliczalny...  ruben  12
 czego jest więcej: liczb R czy R+?  matemateusz  11
 Sprawdź czy zbiór jest przechodni - sprawdzenie zadania.  Aldo  1
 Pokazac ze relacja jest relacją rownowaznosci ...  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl