szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 09:50 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Witam, podczas robienia zadań na 2 etap OMa znalazłem w literaturze zadanie "Wykazać, ze wielomian x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1 jest podzielny przez wielomian x^4+x^3+x^2+x+1" i dopisek, ze dowód mozna w bardzo prosty sposób mozna wykazać przy pomocy liczb zespolonych. I moje pytanie brzmi, jak używać liczb zespolonych przy takich zadaniach?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 10:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6607
x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1 = \frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1} \\
 x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x ^{5}-1 }{x-1}\\
\\
 \frac{ x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}}{x^4+x^3+x^2+x+1} = \frac{\frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1}}{\frac{x ^{5}-1 }{x-1}} = \frac{x ^{55}-1 }{x^{11}-1}\frac{x-1}{x ^{5}-1 }= \\=\frac{  (x-1)\prod_{n=1}^{54} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} } )}{ (x-1)\prod_{n=1}^{10} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{11} } )} \cdot  \frac{(x-1)}{ (x-1)\prod_{n=1}^{4} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{5} } )}=\\=
\frac{  \prod_{n=1}^{54} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} } )}{ \prod_{n=1}^{10} (x-e ^{i \frac{5n2 \pi }{55} } )} \cdot  \frac{1}{ \prod_{n=1}^{4} (x-e ^{i \frac{11n2 \pi }{55} } )}
Dwumiany w obu mianownikach nie dublują się, i wszystkie występują w iloczynie z licznika.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 11:11 
Użytkownik

Posty: 12853
Mamy x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^5-1}{x-1} dla x\neq 1. Zatem pierwiastkami wielomianu x^4+x^3+x^2+x+1 są wszystkie pierwiastki zespolone 5. stopnia z 1 oprócz samej jedynki.
Podobnie x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1=\frac{x^{55}-1}{x^{11}-1}= \frac{(x^5)^{11}-1}{x^{11}-1}, gdy x^{11}\neq 1
Ponieważ jeśli x^5=1, to także (x^5)^{11}=1, a ponadto (co łatwo widać geometrycznie) jedyny pierwiastek jedenastego stopnia z 1, który jest też pierwiastkiem piątego stopnia z 11 to 1,
zatem pozostałe pierwiastki zespolone 5. stopnia z 1 są też pierwiastkami x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1.
Oznaczmy te pierwiastki przez \xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4. Stosując kolejno twierdzenie Bezouta, dostajemy, że wielomian
x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1 jest podzielny przez (x-\xi_1)(x-\xi_2)(x-\xi_3)(x-\xi_4)=x^4+x^3+x^2+1, co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
O co chodzi z tym:
x ^{55} -1= \prod_{54}^{n=1} (x-e ^{i \frac{n2 \pi }{55} }? Rozumiem ze e ^{i \pi } =-1 ale te wszystkie liczby w postaci e ^{ki \pi } sa jakims ogolnym wxorem na pierwiastki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2018, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 12853
Widocznie nie znasz postaci wykładniczej liczby zespolonej.

Pierwiastki n-tego stopnia (n \in \NN^+) z 1 mają postać
z_k=\cos\left( \frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right),
gdzie k\in 0,1\ldots n-1, zaś ze wzoru Eulera wynika, że można napisać dla \varphi\in \RR:
\cos \varphi+i\sin \varphi=e^{i\pi \varphi}
Czyli
\cos\left( \frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right)=e^{ \frac{i2k\pi}{n} }

Ogólnie jeśli masz postać trygonometryczną dla z\in \CC\setminus\left\{ 0\right\}:
z=r \left( \cos \varphi+i\sin \varphi\right), gdzie r>0, zaś \varphi\in \RR, to możesz zapisać to inaczej (też ze wspomnianego wzoru Eulera):
z=re^{i\varphi}.
Jest to często wygodniejsze, np. pozwala łatwo udowadniać pewne tożsamości trygonometryczne czy rozwiązywać pewne klasy równań. Należy tylko zauważyć, że z okresowości funkcji trygonometrycznych wynika, iż argument kątowy \varphi nie jest wyznaczony jednoznacznie, tylko z dokładnością do krotności 2\pi. Czasami mówi się o argumencie głównym, wtedy w zależności od umowy ma się na myśli argument kątowy z przedziału
[-\pi,\pi) bądź [0,2\pi).

A rozwiązanie, które ja napisałem, nie wymaga znajomości postaci wykładniczej (nie mówię, że jest lepsze).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 lut 2018, o 14:39 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7894
Lokalizacja: Wrocław
Jest jeszcze taka drobnostka, że kiedy o dwóch wielomianach p(x), q(x) piszemy, że jeden jest podzielny przez drugi, to mamy na myśli, że istnieje wielomian r(x) o współczynnikach rzeczywistych, taki że p(x) = r(x) q(x). Natomiast z powyższych rozwiązań dostajemy r(x) o współczynnikach zespolonych, należy więc wykazać jeszcze, że jego współczynniki są rzeczywiste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 12853
To nie jest drobnostka, ech, porażka. Ja dzisiaj mówię tak: [chrzanię] matematyka.pl, nie? Nie wchodzę tam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Potęga liczby zespolonej - zadanie 18  Anonymous  2
 Liczby zespolone  Anonymous  2
 Zbiory i liczby  Anonymous  2
 Zespolone (suma)  author  16
 równanie kw. z częścią urojoną (l. zespolone)  Darioo19  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl