szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
Witam.
Zetknąłem się z pewnym zadaniem które nie wiem czy dobrze robię. Może jest tutaj ukryty jakiś haczyk i przez to nie mam pomysłu na to zadanie.
Zadanie:
(z-1)^{4}=(z +1) ^{4}
Po obliczeniu ze wzoru na potęgi wychodzi mi -4i=-4i i nie wiem czy to jest dobry kierunek w rozwiązaniu tego..
Ktoś ma pomysł na to zadanie? :cry:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 20:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6337
Wystarczy spierwiastkować:
z-1=(z+1) \sqrt[4]{1}
co daje cztery równania
1)\\
z-1=(z+1)  \cdot 1\\
2)\\
z-1=(z+1)  \cdot i\\
3)\\
z-1=(z+1)  \cdot (-1)\\
4)\\
z-1=(z+1)  \cdot (-i)
które pewnie umiesz rozwiązać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1283
Lokalizacja: hrubielowo
Albo standardowo korzystamy z wzoru a^2-b^2=(a+b)(a-b)

(z-1)^{4}=(z +1) ^{4}

(z-1)^{4}-(z +1) ^{4}=0

\left( (z-1)^{2}-(z +1) ^{2}\right) \cdot \left( (z-1)^{2}+(z +1) ^{2}\right)=0

\left( (z-1)^{2}-(z +1) ^{2}\right) \cdot \left( (z-1)^{2}-i^2(z +1) ^{2}\right)=0

\left(z-1-(z +1) \right)\left(z-1+z +1  \right)\left( z-1-i(z +1)\right) \left( z-1+i(z +1)\right)=0

W tym momencie widać już że rozwiązania są takie same jak u kerajsa i ławo je policzyć jako alternatywę czterech warunków (nawiasy przyrównane do zera).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
Przyrównam i co dalej? Zastosować z=x+iy? Czy jakoś inaczej to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1283
Lokalizacja: hrubielowo
Nie po prostu wyznaczasz z.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
Chyba robię coś źle.. :|

\left(z-1-(z +1) \right)=0\\
z-1-z+1=0\\
0=0\\\\
\left(z-1+z +1  \right)=0\\
2z=0\\
z=0\\\\
\left( z-1-i(z +1)\right)=0\\
z-1-iz-i=0\\
z=1\\
z=-1\\\\
\left( z-1+i(z +1)\right)=0\\
z-1+iz+i=0\\
z=1\\
z=-1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 lut 2018, o 21:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12450
Lokalizacja: Państwo Polin
Trochę inaczej:
sprawdzamy, że -1 nie spełnia równania, dalej dzielimy równanie
(z-1)^{4}=(z +1) ^{4} stronami przez (z+1)^4 i płynie z tego taki wniosek, że liczba w=\frac{z-1}{z+1} jest pierwiastkiem zespolonym czwartego stopnia z 1, czyli
w=i \vee w=-i \vee w=1\vee w=-1.
Teraz przypominasz sobie, że w=\frac{1-z}{1+z}, wstawiasz i wyliczasz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
w= \frac{1-z}{1+z}

\frac{1-x-iy}{1+x+iy} = \frac{(1-x)-iy}{(1+x)+iy} \cdot \frac{(1+x)-iy}{(1+x)-iy} = \frac{1-x ^{2}-2iy-y ^{2}}{1+2x+x ^{2}+y ^{2}}=..


W taki sposób? Co dalej bo nie mam pomysłu?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 lut 2018, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 15103
Lokalizacja: Bydgoszcz
albertozzz napisał(a):
Chyba robię coś źle.. :|

\left(z-1-(z +1) \right)=0

\red z-1-z+1=0

Tak się nie usuwa nawiasów

Cytuj:

\left(z-1+z +1  \right)=0

2z=0

z=0


OK
Cytuj:
\left( z-1-i(z +1)\right)=0

z-1-iz-i=0

{\red z=1}

{\red z=-1}

Skąd taki wniosek? Równanie liniowe ma na ogół jedno rozwiązanie.
Cytuj:
\left( z-1+i(z +1)\right)=0

z-1+iz+i=0

z=1

z=-1


to samo. równanie liniowe ma zwykle jedno rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
Wciąż nie znam rozwiązania tego. Pomimo wskazówek dalej nie wiem jak to zrobić.
Znajdzie się tutaj osoba która rozwiąże to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2018, o 20:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6337
1)\\
z-1=(z+1)  \cdot 1\\
z-1=z+1\\
-1=1
sprzeczność, brak rozwiązania

2)\\
z-1=(z+1)  \cdot i\\
z-1=iz+i\\
z-iz=1+i\\
z(1-i)=1+i\\
z= \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}= \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} =  \frac{1+2i-1}{1+1}= \frac{2i}{2}  =i

Pozostałe zrób sam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2018, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Rzeszów
Z tym 1 i 2 nie mam problemu.. właśnie nw jak sb poradzić z 3 i 4.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Potęga liczby zespolonej - zadanie 18  Anonymous  2
 Liczby zespolone  Anonymous  2
 Zbiory i liczby  Anonymous  2
 Pierwistek z liczby ujemnej  Hetacz  6
 Zbiór liczb zespolonych & liczby urojone  Anonymous  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl