szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: grupa prosta
PostNapisane: 10 lut 2018, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 45
Udowodnić, że nie istnieje grupa prosta rzędu 3875
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2018, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 12914
3875=5^3\cdot 31
Pokombinuj z tw. Sylowa. Gdyby się okazało, że w takiej grupie jest jedyna 31-podgrupa Sylowa bądź jedyna 5-podgrupa Sylowa, to z automatu byłaby ona podgrupą normalną (wcześniej napisałem więcej, ale się pomyliłem, bo nie zauważyłem, że 125|125 :cry:).
Niech s_p oznacza liczbę p-podgrup Sylowa grupy skończonej G rzędu p^n\cdot k, \text{ gdzie } n\in \NN^+, \ p\nmid k. Z twierdzeń Sylowa mamy (bodajże z trzeciego), że s_p\equiv 1\pmod{p} oraz s_p|k.
Zatem w naszym przypadku wiemy, że
s_{31}\equiv 1\pmod{31} \wedge s_{31}|5^3, czyli
s_{31}=1 \vee s_{31}=5^3.
Podobnie s_{5}\equiv 1\pmod 5 oraz s_{5} dzieli 31, zatem s_5=1\vee s_5=31.
Spróbowałbym uzasadnić, że w naszym przypadku nie może być s_5=31 \wedge s_{31}=125.
No to dwie różne podgrupy rzędu 31^1=31 mogą mieć wspólny tylko element neutralny całej grupy, bo każda grupa rzędu 31 jest izomorficzna z (\ZZ_{31}, +_{31})
To by nam dawało już nie mniej niż
30\cdot 125+1=3751 elementów całej grupy.
5-podgrupy Sylowa mają tu moc 5^3=125, więc co by się stało, gdyby było 125 31-podgrup Sylowa i więcej niż jedna 5-podgrupa Sylowa? Jeszcze z tym trzeba chwileczkę powalczyć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grupa prosta  Biedronka20  7
 Kiedy to jest grupa a kiedy nie?  rapid  3
 Grupa- trzy własnosci  mol_ksiazkowy  2
 grupa obrotow  marcinNykiel  0
 Grupa czy nie? - zadanie 2  Trampek  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl