szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2018, o 04:04 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Łódź
Na kolokwium z granic jeden z podpunktów był nietypowy. Oczywiście nikt go nie rozwiązał, a profesor nie odpowiada na nasze maile z prośbą o wyjaśnienie przykładu. :?
Ta granica to:
\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \left(\frac{\sin x^n}{\sin^m x} \right)
Jak taką granicę rozwalić? :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2018, o 04:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
Czy na pewno x dąży do \frac{\pi}{3} :?: Przecież w takim przypadku wystarczy podstawić, nie ma symbolu nieoznaczonego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2018, o 06:48 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Łódź
Tak, dążyło do \frac{ \pi }{3}. Czyli pod x podstawiam \frac{ \pi }{3} czy chowam sin i wpisuje tylko \frac{ \sqrt{3}}{2}? Jeżeli \frac{ \sqrt{3}}{2} to w jaki sposób mam zapisać to n i m i jaki jest końcowy wynik?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 lut 2018, o 08:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1758
Lokalizacja: hrubielowo
n oraz m to jedynie parametry od których zależy ostateczny wynik. Możesz myśleć o nich jak o liczbach wybranych i ustalonych. Ważne jest to że x \rightarrow  \frac{ \pi }{3} bo to jest "konkret" ma to istotny wpływ na to jaką metodę zastosujemy do policzenia takiej granicy. W tym przypadku nie ma symbolu nieoznaczonego więc wstawiamy za x to do czego dąży i gotowe.

\lim_{x \to  \frac{ \pi }{3} } \frac{\sin x^n}{\sin^m x}= \frac{\sin\left(  \frac{ \pi }{3} \right)^n }{\sin^m\left(  \frac{ \pi }{3} \right)}= \frac{\sin\left(  \frac{ \pi }{3} \right)^n}{\left(  \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^m }=\left(  \frac{2}{ \sqrt{3} } \right)^n \sin\left( \left(  \frac{ \pi }{3} \right)^n\right)

-- 11 lut 2018, o 09:55 --

Chociaż i tak wydaje mi się tak jak Premislavowi że coś jest nie tak z tym argumentem do którego dąży granica. Moim zdaniem zadanie ma więcej sensu gdy x \rightarrow 0. Wtedy jest nawet ciekawie bo mamy do rozważenia kilka przypadków.

n>m>0 \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}=0

n=m >0 \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}=1

n=m=0 \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}=\sin 1

n < 0 \wedge m=0 \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x} \ \ \text{granica nie istnieje}

m<0\ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}=0

m>0 \wedge n \ge 0  \wedge  m-n\in 2\NN \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}= \infty

m>0  \wedge n \ge 0  \wedge  m-n\not\in 2\NN \ \  \Rightarrow \ \ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^n}{\sin^m x}
 \ \ \text{granica nie istnieje}

Mam nadzieję że nie napisałem kompletnych bzdur teraz ale trochę jest tych warunków.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl